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成功大學 76 年度 微積分

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第一部份

第 1 題
設：若 lim⁡x→af(x)=A>0\lim\limits_{x \to a} f(x) = A > 0，則必存在 aa 為中心 δ\delta 為半徑之區間，在其內 f(x)f(x) 恆為正。f(a)f(a) 應如何規定？
(a)
設：若 lim⁡x→af(x)=A>0\lim\limits_{x \to a} f(x) = A > 0，則必存在 aa 為中心 δ\delta 為半徑之區間，在其內 f(x)f(x) 恆為正。f(a)f(a) 應如何規定？
(b)
問，函數 ff 應具備甚麼條件才可以寫 lim⁡x→af(x)n=lim⁡x→af(x)n\lim\limits_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to a} f(x)}，n=2,3,4,⋯n = 2,3,4,\cdots 之演算？
第 2 題
證明擺線（cycloid）{x=a(t−sin⁡t)y=a(1−cos⁡t)\begin{cases} x = a(t - \sin t) \\ y = a(1 - \cos t) \end{cases}，並設 a>0a > 0，恆凹向下（concave downward）。
第 3 題
設 (i) f∈C−f \in C^-（即 ff 為左連續）(ii) Δf(x)=f(x+Δx)−f(x)\Delta f(x) = f(x + \Delta x) - f(x) 求 lim⁡Δx→0Δ2f(x)(Δx)2\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta^2 f(x)}{(\Delta x)^2}。
第 4 題
證明 1+x(1−x)2=1+4x+9x2+⋯+(m+1)2xm+⋯\frac{1+x}{(1-x)^2} = 1 + 4x + 9x^2 + \cdots + (m+1)^2 x^m + \cdots，∣x∣<1|x| < 1。

第二部份

第 5 題
證明 Cauchy-Schwarz 不等式 (∑k=1nakbk)2≤(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)\left(\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k\right)^2 \leq \left(\sum\limits_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum\limits_{k=1}^n b_k^2\right)，ak,bka_k, b_k 為任意實數。
(a)
證明 Cauchy-Schwarz 不等式 (∑k=1nakbk)2≤(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)\left(\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k\right)^2 \leq \left(\sum\limits_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum\limits_{k=1}^n b_k^2\right)，ak,bka_k, b_k 為任意實數。
(b)
設 x+y+3y+4=0x + y + 3y + 4 = 0，求 f(x,y)=x2+y2+y2f(x,y) = x^2 + y^2 + y^2 之極小值。
第 6 題
求拋物線 x2=ayx^2 = ay，y2=bxy^2 = bx（a,b>0a,b > 0）所圍區域之面積。
(a)
求拋物線 x2=ayx^2 = ay，y2=bxy^2 = bx（a,b>0a,b > 0）所圍區域之面積。
(b)
用 (A) 之結果，求：x2=a1yx^2 = a_1 y，x2=a2yx^2 = a_2 y，y2=b1xy^2 = b_1 x，y2=b2xy^2 = b_2 x（a2>a1>0a_2 > a_1 > 0，b2>b1>0b_2 > b_1 > 0）四角所圍區域之面積。
第 7 題
設 y2(a−x)=x3y^2(a-x) = x^3，a≠0a \neq 0，求 ∫dxy\int \frac{dx}{y}。
第 7 題圖表
(a)
設 y2(a−x)=x3y^2(a-x) = x^3，a≠0a \neq 0，求 ∫dxy\int \frac{dx}{y}。
(b)
求 ∫01∫x1sin⁡yydydx\int_0^1 \int_x^1 \frac{\sin y}{y} dy dx。
第 8 題
f(x,y)f(x,y) 經 x=esx = e^s，y=ety = e^t 之代換變作 g(s,t)g(s,t)。若 ff 滿足 x2∂2f∂x2+y2∂2f∂y2+x∂f∂x+y∂f∂y=0x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = 0，gg 滿足 a∂2g∂s2+b∂2g∂s∂t+c∂g∂s+d∂g∂t=0a \frac{\partial^2 g}{\partial s^2} + b \frac{\partial^2 g}{\partial s \partial t} + c \frac{\partial g}{\partial s} + d \frac{\partial g}{\partial t} = 0。求 a,b,c,da, b, c, d 四常數的值。
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