PastExamLabPastExamLab

成功大學 78 年度 微積分

PDF

78學年度轉學生入學考試微積分試題

注意事項：(1) 答題請依序作答，不可用鉛筆作答。(2) 不得使用計算機，但可使用對數表或三角函數表。(3) 每一題均須寫出計算過程或證明過程，只寫答案不予計分。(4) 試題中之 R 表實數數系。
第 1 題10 分
計算 lim⁡x→3[1x−3]⋅x5=?\lim\limits_{x \to 3} \left[ \frac{1}{x-3} \right] \cdot x^5 = ? （其中 [⋅][\cdot] 為高斯大整數記號函數）
第 2 題15 分
設函數 f:R→Rf: R \to R，p∈Rp \in R。
(a)7 分
試證明：若 ff 於點 pp 為右可微（即右導數存在），則 ff 於點 pp 為右連續。
(b)8 分
若 ff 於點 pp 為右連續，試問 ff 於點 pp 是否必為右可微？（若為肯定，則證之；若為否定，則舉一反例。）
第 3 題15 分
(a)7 分
試證明：∀x>0\forall x > 0，ln⁡(1+1/x)>(1+x)−1\ln(1 + 1/x) > (1 + x)^{-1}。
(b)8 分
試利用上題結果 f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to R 而 f(x)=(1+1/x)xf(x) = (1 + 1/x)^x 於何處有極大、極小值。
第 4 題10 分
設函數 f:I→Rf: I \to R，其中 II 為一開區間且連續。
(a)5 分
試證明：若 ff 為遞增，則 ff 必為單調遞增函數。
(b)5 分
試問：若 ff 單調遞增函數，ff 是否必為遞增？
第 5 題10 分
計算不定積分 ∫5(x2−2)1/2dx\int \frac{5}{(x^2 - 2)^{1/2}} dx。
第 6 題10 分
設 f(x)=∫2xx3−4x1+tdtf(x) = \int_{2x}^{x^3-4} \frac{x}{1 + \sqrt{t}} dt；試求 f′(2)=?f'(2) = ?
第 7 題15 分
設 f(x,y)=x4+y4−(x+y)2f(x, y) = x^4 + y^4 - (x + y)^2；試問 ff 於何處有極大、極小值？
第 8 題15 分
計算積分 ∫0+∞exp⁡(−x2)dx=?\int_{0}^{+\infty} \exp(-x^2) dx = ?
廣告區域 (Google AdSense)