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成功大學 91 年度 微積分

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第 1 題10 分
設 f(x)={1−∣x∣,當∣x∣<10,當∣x∣≥1f(x) = \begin{cases} 1 - |x|, & 當|x| < 1 \\ 0, & 當|x| \geq 1 \end{cases}，令 g(x)=12{(x+32)f(x+12)+(32−x)f(x−12)}g(x) = \frac{1}{2}\{(x + \frac{3}{2})f(x + \frac{1}{2}) + (\frac{3}{2} - x)f(x - \frac{1}{2})\}
(a)4 分
寫出儘含函數 xx 的函數 gg 表示式（即不含函數 ff）。
(b)6 分
求 lim⁡x→12g′(x)\lim\limits_{x \to \frac{1}{2}} g'(x)。
第 2 題12 分
試證明下列敘述為真，或舉反例說明其錯誤
(a)6 分
若函數 ff 於 [a,b][a, b] 可微，則 ff 於 [a,b][a, b] 連續。
(b)6 分
若函數 ff 於 [a,b][a, b] 可積，則 ff 於 [a,b][a, b] 連續。
第 3 題12 分
冪級數 ∑n=0∞x4n+14n+1\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}
(a)6 分
求收斂範圍。
(b)6 分
求其和。
第 4 題12 分
設函數 y=xαy = x^\alpha 與 y=x2αy = x^{2\alpha}，其中 x≥0x \geq 0，α>0\alpha > 0。令此兩曲線所圍之區域繞 xx 軸旋轉；並設此旋轉體之體積為 VV
(a)6 分
求 VV。
(b)6 分
求 α\alpha 值，使得體積 VV 最大。
第 5 題15 分
設函數 f(x)=x3−x2−x+13f(x) = \sqrt[3]{x^3 - x^2 - x + 1}，請討論此函數圖形之遞增、遞性，凹、凸性，反曲點，相對極值，漸近線等，並繪其圖。
第 6 題12 分
設拋物線 y=x2y = x^2 與直線 x−y−2=0x - y - 2 = 0，求此兩線距離最短時之點距離，並求此距離。
第 7 題12 分
設函數 F(x,y)=arctan⁡yxF(x, y) = \arctan \frac{y}{x}
(a)6 分
試證此函數 FF 滿足 Laplace equation，即 ∂2F∂x2+∂2F∂y2=0\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} = 0。
(b)6 分
設 F(x,y)F(x, y) 為滿足 Laplace equation 的任一函數，令函數 G(x,y)=F(axx2+y2,ayx2+y2)G(x, y) = F(\frac{ax}{x^2 + y^2}, \frac{ay}{x^2 + y^2})，試證函數 GG 亦滿足 Laplace equation。
第 8 題15 分
設函數 z=x2+y2z = \sqrt{x^2 + y^2} 與函數 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2，此兩函數圖形所圍固體為 SS
(a)5 分
請用直角座標系統表示求此固體 SS 之體積所需之三重積分式（僅需列出積分式）。
(b)5 分
請用極座標系統表示求此固體 SS 之體積所需之二重積分式（僅需列出積分式）。
(c)5 分
請用旋轉體之設法表示求此固體 SS 之體積所需之積分式（僅需列出積分式）。
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