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成功大學 90 年度 微積分

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第 1 題15 分
設 f(x)=xsin⁡1x+xf(x) = x \sin \frac{1}{x} + x.
(a)5 分
試求 lim⁡x→0f(x)=?\lim\limits_{x \to 0} f(x) = ?
(b)10 分
試求 ff 圖形之漸近線。
第 2 題10 分
一粒子在一直線上移動，最初五秒它自原點（即原點）以每秒一公尺之速度移動，其後三秒靜它靜止不動，之後 12 秒鐘它繼續依照最初移動方向以每秒三公尺之速度前進。試將該粒子之位置表為時間 tt 之函數。（即表為 f:A→B:f(t)=⋯f: A \to B: f(t) = \cdots，其中 AA、BB 及 ⋯\cdots 皆需清楚表示）。
第 3 題20 分
以下四小題僅需寫出答案，不必說明或推導：
(a)5 分
舉出一不為單調 (monotone) 且不為連續之 Riemann 可積函數。（表為 f:[?,?]→R:f(x)=⋯f: [?, ?] \to \mathbb{R}: f(x) = \cdots）。
(b)5 分
舉出一反例以說明以下陳述不實：「若函數 ff 為可微且為遞增（即 x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)），則 f′>0f' > 0。」
(c)5 分
級數 12−13+14−15+⋯+(−1)n+11n+1+⋯\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1} + \cdots 之和 =?= ?
(d)5 分
試以極坐標方程式表示「圓心在點 (0,3)(0,3)，直徑為 66 之圓」。
第 4 題10 分
對於 ϵ>0\epsilon > 0，欲求最小的自然數 n0n_0，以使
(∀n∈N)(n>n0⇒∣n2n+1−12∣<ϵ).(\forall n \in \mathbb{N})\left(n > n_0 \Rightarrow \left|\frac{n}{2n+1} - \frac{1}{2}\right| < \epsilon\right).
(a)5 分
若 ϵ≥12\epsilon \geq \frac{1}{2}，則 n0=?n_0 = ?
(b)5 分
若 0<ϵ<120 < \epsilon < \frac{1}{2}，則 n0=?n_0 = ?
第 5 題10 分
試求 sin⁡−1\sin^{-1}（即 arcsin）與 XX 軸在區間 [a,b][a,b] 所圍區域之面積，其中 [a,b][a,b] 為 sin⁡−1\sin^{-1} 之定義域。
第 6 題10 分
若已知 ∇f(x,y)=(2xy,x2+sin⁡y)\nabla f(x,y) = (2xy, x^2 + \sin y)，∇(x,y)∈R2\nabla(x,y) \in \mathbb{R}^2 且 f(0,0)=0f(0,0) = 0，試求 f(1,π)=?f(1,\pi) = ?
第 7 題15 分
設 f:R2→R:f(x,y)=2x4+3y3−x2yf: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}: f(x,y) = 2x^4 + 3y^3 - x^2 y.
(a)8 分
試求 ff 之臨界點 (critical points)，並判斷其上是否有相對極大或相對極小值？
(b)7 分
在條件 x2+y=0x^2 + y = 0 下，ff 是否有最大值及最小值？若有，則求之。
第 8 題10 分
設 ① f:Df→R:f(x,y)=exf: D_f \to \mathbb{R}: f(x,y) = e^x 其中 Df={(x,y)∈R2∣0≤x≤1,0≤y≤1}D_f = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}; ② ∀a∈R\forall a \in \mathbb{R}，S(a)={(x,y)∈R2∣x+y≤a}S(a) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x + y \leq a\}; ③ G(a)=G(a) = "ff 在 S(a)∩DfS(a) \cap D_f 上之二重積分"。 試求 G(a)=?G(a) = ? 【提示】應考慮不同情況之 aa。
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