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成功大學 89 年度 微積分

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第 1 題10 分
以下有關「函數」之表示法，哪些是錯誤的？理由為何？(未限選理由者不予計分)。
(a)
f:R→R:f(x)=tan⁡−1xf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: f(x) = \tan^{-1} x，(註：tan⁡−1\tan^{-1} 即 arctan)。
(b)
z=g(x,y)z = g(x,y) 滿足 x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1。
(c)
h:R→R2:h(t)=(2cos⁡t,3sin⁡t)h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2: h(t) = (2\cos t, 3\sin t)。
(d)
ϕ:R3→R:ϕ(x,y,z)=xyzx2+y2+z2\phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}: \phi(x,y,z) = \frac{xyz}{x^2 + y^2 + z^2}。
(e)
ψ:R→R:ψ(x)={1,若 x∈Q−1,若 x∈R∖Q\psi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: \psi(x) = \begin{cases} 1, & \text{若 } x \in \mathbb{Q} \\ -1, & \text{若 } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}。
第 2 題10 分
設 an=1+12+⋯+1nln⁡na_n = \frac{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}{\ln n}，∀n=2,3,4,⋯\forall n = 2,3,4,\cdots。試問序列 (an)n≥2(a_n)_{n \geq 2} 是否為收斂？若是，則求其極限。
第 3 題10 分
試求不定積分 ∫ln⁡(x2+a2)dx\int \ln(x^2 + a^2) dx，其中 aa 為一常數。
第 4 題15 分
試問雙曲正切函數 tanh⁡x=ex−e−xex+e−x\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} 是否為可逆 (即 tanh 是否有反函數)？理由為何？
(a)7 分
試問雙曲正切函數 tanh⁡x=ex−e−xex+e−x\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} 是否為可逆 (即 tanh 是否有反函數)？理由為何？
(b)8 分
若 tanh 為可逆，則求其反函數，否則求其導函數之最大值。
第 5 題10 分
一光源為 2 公尺之球形容器，由頂端照射分離注入 0.5 立方公尺之水，試問當水高為 1 公尺時，①水體積若干？②水面上升之速率為何？
第 6 題15 分
試證：若 ∑n=1+∞∣an∣\sum\limits_{n=1}^{+\infty} |a_n| 為收斂，則 ∑n=1+∞an\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n 為收斂。
(a)10 分
試證：若 ∑n=1+∞∣an∣\sum\limits_{n=1}^{+\infty} |a_n| 為收斂，則 ∑n=1+∞an\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n 為收斂。
(b)5 分
舉一反例以證明：一收斂級數未必為絕對收斂。
第 7 題10 分
試求 y=x4y = x^4 在點 (−1,1)(-1,1) 之曲率半徑及曲率中心。
第 8 題10 分
設 E={(x,cos⁡x)∣x∈R}E = \{(x,\cos x) | x \in \mathbb{R}\}，試問函數 f:E→R:f(x,y)=x2−y2f: E \to \mathbb{R}: f(x,y) = x^2 - y^2 於何處有極大值、於何處有極小值，並說明其為極對極值或相對極值。
第 9 題10 分
設 EE 為 R2\mathbb{R}^2 平面上以點 (4,0)(4,0) 為中心，以正整數 aa 為半徑之圓面域，試求 f(x,y)=xf(x,y) = \sqrt{x} 在 EE 上之二重積分。
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