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成功大學 92 年度 微積分

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第 1 題28 分
填空題：（每一小題四分） 請於答案卷上寫出以下①～⑦題之解，不必寫出任何計算過程或理由，如果該小題之解不存在，只需寫『不存在』即可。 設
f:R→R:f(x)={1∣x∣,若x≠0,0,若x=0,f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{|x|}}, & 若 x \neq 0, \\ 0, & 若 x = 0, \end{cases}
G:R→R:G(x)=∫−1xf(t)dt.G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: G(x) = \int_{-1}^x f(t) dt.
則 • ff 之值域 = ①； • 當 x<0x < 0 時，G(x)=G(x) = ③； • 當 x>0x > 0 時，G(x)=G(x) = ⑤； • GG 之圖形過點 (0,G(0))(0, G(0)) 之切線方程式為 ⑦。 • 若 f′(x)=1f'(x) = 1，則 x=x = ②； • 當 x=0x = 0 時，G(x)=G(x) = ④； • G′(0)=G'(0) = ⑥；
第 2 題10 分
設 f(x)=tan⁡−1(x−1x+1)−tan⁡−1(x)f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) - \tan^{-1}(x)。（註：tan⁡−1\tan^{-1} 即 arctan。）
(a)5 分
試求 ff 之導函數：
(b)5 分
試求 ∫−33f(x)dx=?\int_{-3}^3 f(x) dx = ? 【提示】以瑕積分方式處理之。
第 3 題12 分
(a)6 分
設 ff 於區間 [a,b][a,b] 上為 Riemann 可積，試證：
∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx;\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx;
(b)6 分
設 ff 在區間 [a,b][a,b] 上為三階可微分，舉一反例以說明陳述
[若f在區間[a,b]上為凸狀(convex)，則f′′(x)>0,∀x∈(a,b).]\left[若 f 在區間 [a,b] 上為凸狀 (convex)，則 f''(x) > 0, \forall x \in (a,b).\right]
不真。（務必說明理由。）
第 4 題15 分
設一質點之位置向量函數 (position vector function) 為 f:[0,+∞)→R3\mathbf{f}: [0, +\infty) \to \mathbb{R}^3，已知其加速度向量為 a(t)=(3,0,−4e2t)\mathbf{a}(t) = (3, 0, -4e^{2t})，在時間 0 之速度向量為 v(0)=(1,6,0)\mathbf{v}(0) = (1, 6, 0) 而最初位置為 f(0)=(1,2,3)\mathbf{f}(0) = (1, 2, 3)。
(a)10 分
試求 f(t)=?\mathbf{f}(t) = ? 【提示：v(t)=f′(t),a(t)=v′(t)\mathbf{v}(t) = \mathbf{f}'(t), \mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t)。】
(b)5 分
試求 f\mathbf{f} 之第一分量函數 (first component function) 之最大值及最小值。
第 5 題10 分
設 p>1p > 1，試判別級數 ∑n=1+∞ln⁡nnp\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^p} 之斂散性。
第 6 題12 分
設函數
f:R2→R:f(x,y)={2xy,若xy≥0,0,若xy<0.f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}: f(x,y) = \begin{cases} 2\sqrt{xy}, & 若 xy \geq 0, \\ 0, & 若 xy < 0. \end{cases}
試問以下二者是否存在，若存在則求之，若不存在則說明理由：
(a)6 分
∇f(0,0)\nabla f(0,0)：
(b)6 分
此曲面過原點之切面。
第 7 題13 分
設 f(x,y)=1xf(x,y) = \frac{1}{x}，S={(x,y)∣x>0,0≤y≤3x,x2+y2≤1}S = \{(x,y) | x > 0, 0 \leq y \leq \sqrt{3x}, x^2 + y^2 \leq 1\}。
(a)3 分
試繪出 SS 之圖形：
(b)10 分
試求 ff 在集合 SS 上之二重積分。
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