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成功大學 102 年度 微積分B

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第 1 題10 分
Find the limit: lim⁡x→0x2sin⁡(1/x)tan⁡x\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\tan x}.
第 2 題10 分
Find the limit: lim⁡x→∞[x−x2ln⁡(1+1x)]\lim\limits_{x \to \infty} [x - x^2 \ln(1 + \frac{1}{x})].
第 3 題12 分
Give ln⁡(x2+y2)+2⋅arctan⁡xy=0\ln(x^2 + y^2) + 2 \cdot \arctan \frac{x}{y} = 0, find the values of dydx\frac{dy}{dx} and d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} when x=0x = 0 and y=1y = 1.
第 4 題10 分
Evaluate ∫0π2cos⁡x1−cos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sqrt{1 - \cos x} \, dx.
第 5 題10 分
Evaluate ∫x⋅ln⁡(1+x2) dx\int x \cdot \ln(1 + x^2) \, dx.
第 6 題12 分
Evaluate ∫02∫x2x1+y3 dydx\int_0^2 \int_x^2 x\sqrt{1 + y^3} \, dy dx.
第 7 題12 分
Use polar coordinates to combine the sum
∫22∫4−x2xx−1y2 dydx+∫222∫0xx−1y2 dydx+∫224∫016−x2x−1y2 dydx\int_{\sqrt{2}}^2 \int_{\sqrt{4-x^2}}^x x^{-1} y^2 \, dy dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \int_0^x x^{-1} y^2 \, dy dx + \int_{2\sqrt{2}}^4 \int_0^{\sqrt{16-x^2}} x^{-1} y^2 \, dy dx
into one double integral. Then evaluate the double integral.
第 8 題12 分
Show that ∑n=2∞ln⁡(1−1n2)\sum\limits_{n=2}^{\infty} \ln(1 - \frac{1}{n^2}) converges and finds its sum.
第 9 題12 分
Find the local maximum and minimum values and saddle point(s) of the function f(x,y)=x3+y3+3x2−3y2−8f(x,y) = x^3 + y^3 + 3x^2 - 3y^2 - 8.
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