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成功大學 75 年度 微積分

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注意：不必抄題，但須標明題號。
第 1 題16 分
求下列極限：
(1)
lim⁡x→1(xx−1−1ln⁡x)\lim\limits_{x \to 1} \left(\frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln x}\right)
(2)
lim⁡x→0+x3sin⁡(1/x)x−[x]\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x^3 \sin(1/x)}{x - [x]}，内 [x][x] 为最大整數函数。
第 2 題13 分
設 f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R} 而 f(x)={x,若 x∈[0,1),1,若 x∈[1,2].f(x) = \begin{cases} x, & \text{若 } x \in [0,1), \\ 1, & \text{若 } x \in [1,2]. \end{cases}
(1)
試問 ff 是否為連續？理由為何？
(2)
求一函數 F:[0,2]→RF: [0,2] \to \mathbb{R} 使得 ∀x∈[0,2]\forall x \in [0,2]，F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)。
第 3 題16 分
(1)
設 an=∑k=0n−1n4n2+k2a_n = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{n}{4n^2 + k^2}。試問序列 {an}\{a_n\} 是否收斂？若是，則求其極限。
(2)
求冪級数 ∑n=0+∞(−1)n(x−2)n+1n+1\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n (x-2)^{n+1}}{n+1} 之收斂區間。
第 4 題15 分
(1)
求 ∫xexp⁡(x2)exp⁡(x2)+1dx\int \frac{x \exp(x^2)}{\exp(x^2) + 1} dx 之值；
(2)
求 ∫1/23/21−x2dx\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1-x^2} dx 之值；
(3)
證明積分 ∫0+∞exp⁡(−x2)dx\int_0^{+\infty} \exp(-x^2) dx 收斂并 <π/2< \sqrt{\pi}/2。
第 5 題14 分
試繪製 f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2} 之圖形。
第 6 題16 分
(1)
設 x=ρcos⁡θsin⁡ϕx = \rho \cos \theta \sin \phi，y=ρsin⁡θsin⁡ϕy = \rho \sin \theta \sin \phi，z=ρcos⁡ϕz = \rho \cos \phi 为球面坐標變換，試求 ∂z∂x(x,y,z)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y,z) 及 ∣∂2x∂r∂θ(r,θ,ϕ)∂2x∂r∂θ(r,θ,ϕ)∂2x∂r∂ϕ(r,θ,ϕ)∂2y∂r∂θ(r,θ,ϕ)∂2y∂θ∂ϕ(r,θ,ϕ)∂2y∂r∂ϕ(r,θ,ϕ)∂2z∂r∂θ(r,θ,ϕ)∂2z∂θ∂ϕ(r,θ,ϕ)∂2z∂r∂ϕ(r,θ,ϕ)∣\begin{vmatrix} \frac{\partial^2 x}{\partial r \partial \theta}(r,\theta,\phi) & \frac{\partial^2 x}{\partial r \partial \theta}(r,\theta,\phi) & \frac{\partial^2 x}{\partial r \partial \phi}(r,\theta,\phi) \\ \frac{\partial^2 y}{\partial r \partial \theta}(r,\theta,\phi) & \frac{\partial^2 y}{\partial \theta \partial \phi}(r,\theta,\phi) & \frac{\partial^2 y}{\partial r \partial \phi}(r,\theta,\phi) \\ \frac{\partial^2 z}{\partial r \partial \theta}(r,\theta,\phi) & \frac{\partial^2 z}{\partial \theta \partial \phi}(r,\theta,\phi) & \frac{\partial^2 z}{\partial r \partial \phi}(r,\theta,\phi) \end{vmatrix}；
(2)
試判斷重積分方法，並計算在為 YY 之球体体積。
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