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成功大學 93 年度 微積分

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填空題

說明：以下八小題僅須填入答案，不必書寫過程；①②兩題之解須表為區間或區間之聯集，否則不予計分。填空題每一小題五分，(2)～(5)題每題十五分。
第 1 題5 分
填空題：(說明：以下八小題僅須填入答案，不必書寫過程；①②兩題之解須表為區間或區間之聯集，否則不予計分。) • 設 A={x∈R∣1<x2<2}A = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x^2 < 2\}，則 A=A = ①； • 設 B={a∈R∣∀n∈N,a>(1+1n)n}B = \left\{a \in \mathbb{R} \mid \forall n \in \mathbb{N}, a > \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}，則 B=B = ②； • 設 f:(−π2,π2)→R:f(x)={x2+2tan⁡x2x,若 x≠0,k,若 x=0,f: \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}: f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 2\tan x}{2x}, & \text{若 } x \neq 0, \\ k, & \text{若 } x = 0, \end{cases} 欲使 ff 為一連續函數，則 k=k = ③； • (續上題) 此函數過點 (0,k)(0, k) 之切線方程式為 ④； • 五次多項式 g(x)g(x) 滿足 lim⁡x→0sin⁡x−g(x)x5=0\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x - g(x)}{x^5} = 0，則 g(x)=g(x) = ⑤； • 若 n∈Nn \in \mathbb{N}，則 ∫01[nx]dx=\int_0^1 [nx] dx = ⑥，其中 [  ][ \;] 表最大整數函數 (即高斯符號)。 • 不定積分 ∫x⋅2xdx=\int x \cdot 2^x dx = ⑦； • 設路徑 rr 為自點 (a,0)(a, 0) 沿橢圓 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 之上半至點 (−a,0)(-a, 0)，內 a,ba, b 皆為正數，則線積分 ∫r(xdy−ydx)=\int_r (x dy - y dx) = ⑧；
第 2 題15 分
設 f:(−π2,π2)→R:f(x)=sec⁡xf: \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}: f(x) = \sec x，AA 與 BB 為直線 y=by = b, (b>1)(b > 1) 與曲線 y=f(x)y = f(x) 之二交點，F(b)F(b) 為上述直線與曲線所圍區域之面積；次設 G(b)G(b) 為 △ABC\triangle ABC 之面積，其中之點 CC 之座標為 (0,1)(0, 1)。試求 lim⁡b→1+F(b)G(b)=?\lim\limits_{b \to 1^+} \frac{F(b)}{G(b)} = ?
第 3 題15 分
設集合 SS 為由曲線 y=∣x−1∣y = |x - 1| 與 2y=x2−2x+22y = x^2 - 2x + 2 所圍之區域。 (a) 試求此二曲線之交點，並繪出 SS 之圖形； (b) 試求函數 f(x,y)=yf(x, y) = y 在集合 SS 上之二重積分。
(a)7 分
試求此二曲線之交點，並繪出 SS 之圖形
(b)8 分
試求函數 f(x,y)=yf(x, y) = y 在集合 SS 上之二重積分
第 4 題15 分
設 f:R2→R:f(x,y)=x4+ky2−xf: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}: f(x, y) = x^4 + ky^2 - x，其中 kk 為常數。 (a) 試問哪些常數 kk 使得 ff 無極值 (extremum)？ (b) 若 kk 使得 ff 有極值，試問 ff 於何處有相對極大值？於何處有相對極小值？
(a)7 分
試問哪些常數 kk 使得 ff 無極值 (extremum)？
(b)8 分
若 kk 使得 ff 有極值，試問 ff 於何處有相對極大值？於何處有相對極小值？
第 5 題15 分
設 an={1n,若 n 為正奇數,1(n−1)ln⁡n,若 n 為正偶數.a_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{若 } n \text{ 為正奇數}, \\ \frac{1}{(n-1)\ln n}, & \text{若 } n \text{ 為正偶數}. \end{cases} 試討論級數 ∑n=1∞(−1)n+1an\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n 為絕對收斂、條件收斂或為發散。
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