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成功大學 97 年度 微積分

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第 1 題10 分
試求極限 lim⁡x→∞x(x−[x])ex\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}(x - [x])}{e^{\sqrt{x}}}，其中 [x][x] 為最大整數函數。
第 2 題10 分
冪級數 ∑n=1∞(−1)nxnn\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^n}{n}，試求其收斂範圍，並求其收斂值。
第 3 題10 分
設某曲線方程式為
{x(t)=t−sin⁡ty(t)=1−cos⁡t,0≤t≤2π.\begin{cases} x(t) = t - \sin t \\ y(t) = 1 - \cos t \end{cases}, \quad 0 \leq t \leq 2\pi.
(a)4 分
求在 t=π4t = \frac{\pi}{4} 時，該曲線之切線斜率。
(b)6 分
求該曲線之長。
第 4 題10 分
設 f(x)=x5−2x3+1f(x) = x^5 - 2x^3 + 1，試討論 ff 之增減，凹凸及反曲點，並繪製 ff 之圖形。
第 5 題10 分
設 f(x)=∫0xe−t2dtf(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt，求 f(11)(0)f^{(11)}(0) 之值。
第 6 題10 分
求定積分 ∫1e1tan⁡−1(1x)dx\int_{\frac{1}{e}}^1 \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) dx。
第 7 題10 分
設 R={(x,y):(x−1)2+y2≤1}R = \{(x, y) : (x - 1)^2 + y^2 \leq 1\}，求 ∬Rx2+y2dA\iint_R \sqrt{x^2 + y^2} dA。
第 8 題10 分
設方程式 w=x+y2+z3w = x + y^2 + z^3 及 z3−xy+yz+y3=1z^3 - xy + yz + y^3 = 1，其中 x,yx, y 為獨立變數，求在點 (x,y,z)=(2,−1,1)(x, y, z) = (2, -1, 1) 時之 ∂w∂x\frac{\partial w}{\partial x} 之值。
第 9 題10 分
設 f(x,y,z)=3x+y+zf(x, y, z) = 3x + y + z，求函數 ff 在滿足 y2+z2=5y^2 + z^2 = 5 及 x+y−z=1x + y - z = 1 兩條件下時之極大值。
第 10 題10 分
設區域 RR 為由曲線 y=xy = \sqrt{x}，直線 y=2y = 2 及 x=0x = 0 所圍成，求此區域 RR 對直線 x=4x = 4 旋轉所圍之體積。
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