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成功大學 103 年度 微積分A

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第 1 題12 分
Find the following limits:
(a)6 分
lim⁡x→∞(ln⁡x)−2/x\lim\limits_{x \to \infty} (\ln x)^{-2/x}
(b)6 分
lim⁡n→∞1n[21/n+22/n+…+2n/n]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}[2^{1/n} + 2^{2/n} + \ldots + 2^{n/n}]
第 2 題12 分
Let f(x)=sin⁡−1x2+4−x2f(x) = \sin^{-1} \frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^2}, for each x∈[−2,2]x \in [-2,2]
(a)6 分
Find f′(x)f'(x)
(b)6 分
Find extreme values of f(x)f(x)
第 3 題10 分
Prove that: x−1x<ln⁡x<x−1\frac{x-1}{x} < \ln x < x - 1, for each x>1x > 1.
第 4 題12 分
Evaluate the following integrals:
(a)6 分
∫0π/4sin⁡2x⋅cos⁡2xdx\int_0^{\pi/4} \sin 2x \cdot \cos^2 x dx
(b)6 分
∫ln⁡xxdx\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx
第 5 題14 分
(a)6 分
Find the convergence set of ∑n=0∞(−1)nx3n+13n+1\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{3n+1}}{3n+1}
(b)8 分
Evaluate SS: S=1−14+17−…+(−1)n3n+1+…S = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{7} - \ldots + \frac{(-1)^n}{3n+1} + \ldots
第 6 題10 分
Define f(x,t)=∫0x/te−s2/2dsf(x,t) = \int_0^{x/\sqrt{t}} e^{-s^2/2} ds, for x>0,t>0x > 0, t > 0. Prove that: ft=fxxf_t = f_{xx} where ft=∂f∂t,fxx=∂2f∂x2f_t = \frac{\partial f}{\partial t}, f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.
第 7 題10 分
Determine and classify the stationary points of the function f(x,y)=xy(3x+6y−2)f(x,y) = xy(3x + 6y - 2).
第 8 題10 分
Find the total arc length of the cardioid r=a(1−cos⁡θ),a>0r = a(1 - \cos \theta), a > 0.
第 9 題10 分
Use change of variables x=u,y=vux = u, y = \frac{v}{u} to evaluate the integral ∬RdA1+x2y2\iint_R \frac{dA}{1 + x^2 y^2}, where R={(x,y):1≤x≤5,1≤xy≤5}R = \{(x,y) : 1 \leq x \leq 5, 1 \leq xy \leq 5\}.
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