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台灣聯合大學系統 108 年度 微積分 A3/A4/A7

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中央大學圖書館考古題頁

甲、填充題

共 8 題，每題 8 分，共 64 分，請在答案卷上列出過程依序作答。請注意：本（甲、）部分，共 8 題，命題型態為填充題，僅將答案依題號順序依序寫在答案卷第一頁即可，不需列出計算過程。計算過程與其結論將視為試卷部分，不予計分。
第 1 題8 分
Evaluate lim⁡x→0+(sin⁡x)x\lim\limits_{x \to 0^+} (\sin x)^x. Answer:
第 2 題8 分
Let f(x)=∫1x1+t2dtf(x) = \int_1^x \sqrt{1 + t^2} dt. Find (f−1)′(0)(f^{-1})'(0). Answer:
第 3 題8 分
Find the average value of the function f(x,y)=e−x2f(x,y) = e^{-x^2} over the plane region RR where RR is the triangle with vertices (0,0)(0,0), (1,0)(1,0), and (1,1)(1,1). Answer:
第 4 題8 分
Evaluate the definite integral ∫191x(1+x)2dx\int_1^9 \frac{1}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2} dx. Answer:
第 5 題8 分
Find the direction in which the function f(x,y)=x2y+exysin⁡yf(x,y) = x^2 y + e^{xy} \sin y increases most rapidly at the point (1,0)(1,0). Answer:
第 6 題8 分
Find the maximum value of f(x,y)=x2+2y2−2x+3f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 2x + 3 subject to the constraint x2+y2=10x^2 + y^2 = 10. Answer:
第 7 題8 分
Find the work done by the force F=xi+yj(x2+y2)3/2\mathbf{F} = \frac{x\mathbf{i} + y\mathbf{j}}{(x^2 + y^2)^{3/2}} over the plane curve r(t)=(etcos⁡t)i+(etsin⁡t)j\mathbf{r}(t) = (e^t \cos t)\mathbf{i} + (e^t \sin t)\mathbf{j} from the point (1,0)(1,0) to the point (e2π,0)(e^{2\pi}, 0). Answer:
第 8 題8 分
Convert the integral ∫02π∫02∫r4−r23dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \int_r^{\sqrt{4-r^2}} 3 dz \, dr \, d\theta, r≥0r \geq 0 to an equivalent integral in spherical coordinates. Answer:

乙、計算、證明題

共 3 題，每題 12 分，共 36 分，須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。
第 1 題12 分
Determine if the series converges or diverges.
(a. (6 分))6 分
∑n=0∞e−n2\sum\limits_{n=0}^{\infty} e^{-n^2}
(b. (6 分))6 分
∑n=1∞sin⁡1n\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}
第 2 題12 分
Use the limit definition to show that g′(0)g'(0) exists but g′(0)≠lim⁡x→0g′(x)g'(0) \neq \lim\limits_{x \to 0} g'(x), where g(x)={x2sin⁡1x,if x≠00,if x=0.g(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & \text{if } x \neq 0 \\ 0, & \text{if } x = 0. \end{cases}
第 3 題12 分
Find the area of the surface cut from the paraboloid x2+y+z2=2x^2 + y + z^2 = 2 by the plane y=0y = 0.