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題型分類

微積分題型分類：轉學考常見 15 類題目怎麼讀

這篇整理目前題庫使用的微積分題型。重點不是背分類名稱，而是看到題目時，能快速判斷它想考哪一組工具。

為什麼要先做題型分類

考古題最容易讓人焦慮的地方，不是題目真的無限多，而是你還沒看出它們其實一直在重複同幾種任務。
如果每一題都從零開始想，微積分會像一大團雜訊。但只要先判斷題型，你會比較快知道該拿哪一組工具出來：極限題先看不定式，最佳化題先找目標函數與限制條件，重積分題先畫區域與選座標。
目前題庫把微積分題目整理成 15 類。這 15 類不是為了把題目貼標籤而已，而是幫你建立一張讀題地圖。

一張大的學習地圖

前 7 類大致是單變數微積分主線：極限、連續、導數、微分應用、積分、積分技巧、積分應用。
第 8 到第 11 類開始往模型與無窮過程走：微分方程、參數與極座標、二階微分方程、無窮級數。
第 12 到第 15 類則是多變數與向量微積分：向量函數、多變數微分、重積分、向量微積分。
所以你不需要一次把 15 類都背起來。比較實用的做法是：先知道每一類在問什麼，再回頭用考古題練辨識速度。

目前所有微積分題型

The Limit of a Function

函數極限

主要在考

判斷極限型態、化簡不定式、使用等價無窮小、洛必達或泰勒展開。

看到這些線索

x→ax\to a、x→∞x\to\infty、0/00/0、∞/∞\infty/\infty、根式有理化、三角小量。

Continuous functions

連續函數

主要在考

判斷連續、補洞、介值定理、最大最小值定理，以及分段函數在接點的條件。

看到這些線索

題目問 continuous、removable discontinuity、f(a)f(a) 怎麼定義、是否存在根。

Derivatives

導數

主要在考

基本微分、隱函數微分、鏈鎖律、切線法線、導數定義。

看到這些線索

f′(x)f'(x)、tangent line、implicit differentiation、rate of change。

Applications of differentiation

微分應用

主要在考

單調性、極值、凹凸性、反曲點、最佳化、Mean Value Theorem。

看到這些線索

maximum、minimum、increasing/decreasing、concavity、critical number。

Integrals

積分

主要在考

定積分、反微分、微積分基本定理、面積與基本累積量。

看到這些線索

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx、area under curve、antiderivative、FTC。

Techniques of integration

積分技巧

主要在考

代換法、分部積分、部分分式、三角代換、瑕積分判斷。

看到這些線索

積分看起來不能直接套表，需要先改寫、拆式或換變數。

Applications of integration

積分應用

主要在考

面積、體積、弧長、旋轉體、平均值、物理量累積。

看到這些線索

volume、area、arc length、washer method、shell method、average value。

Differential equations

一階微分方程

主要在考

分離變數、線性一階、初始值問題、簡單模型。

看到這些線索

y′y'、dydx\frac{dy}{dx}、initial value problem、separable、linear equation。

Parametric equations and polar coordinates

參數式與極座標

主要在考

參數曲線斜率、極座標面積、極座標曲線辨識、座標轉換。

看到這些線索

x=x(t)x=x(t)、y=y(t)y=y(t)、r=f(θ)r=f(\theta)、polar area、cardioid。

Second order differential equations, Laplace transform

二階微分方程與拉普拉斯

主要在考

常係數二階微分方程、特徵方程、非齊次解、Laplace transform。

看到這些線索

y′′y''、characteristic equation、particular solution、Laplace。

Infinite Series

無窮級數

主要在考

收斂判別、冪級數、泰勒級數、收斂半徑與端點檢查。

看到這些線索

∑\sum、power series、Taylor series、radius of convergence。

Vector functions

向量函數

主要在考

空間曲線、速度加速度、弧長、曲率、切向量與法向量。

看到這些線索

r(t)\mathbf r(t)、velocity、acceleration、curvature、arc length in space。

Derivatives of multi-variable functions

多變數微分

主要在考

偏導數、梯度、方向導數、切平面、Lagrange multiplier。

看到這些線索

fxf_x、fyf_y、gradient、tangent plane、constraint optimization。

Multiple integrals

重積分

主要在考

二重積分、三重積分、換積分順序、Jacobian、極座標/柱座標/球座標。

看到這些線索

∬\iint、∭\iiint、change order、change variables、spherical coordinates。

Vector calculus

向量微積分

主要在考

線積分、曲面積分、Green、Stokes、Divergence theorem、通量與旋度。

看到這些線索

∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F、∇×F\nabla\times\mathbf F、flux、circulation、closed curve。

怎麼用這份分類練考古題

第一輪不要急著解完。先遮住答案，只做一件事：判斷這題屬於哪一類，以及第一步該做什麼。

第二輪才開始計算。這時候你會發現很多題其實不是卡在技巧，而是卡在一開始沒有辨識出題型。

第三輪再看錯題。如果同一類一直錯，例如重積分或微分應用，就代表你不是單題失誤，而是那一整類工具還不穩。