題本舖題本舖PastExamLab
開啟選單
首頁認識微積分公式關於

第 1 篇

從切線到導數：第一批微分公式怎麼出現

微分公式真正的起點不是公式表，而是切線問題。只要你先看懂差商與極限在做什麼，後面整批導數公式會穩很多。

最早的問題不是公式，而是切線

如果把導數放回歷史裡，它最早處理的不是『怎麼微分比較快』，而是『一條曲線在某一點的切線到底怎麼找』。這件事在幾何時代就已經很重要，因為只要你想知道曲線當下往哪個方向走，就一定會碰到它。
真正困難的地方在於，切線不是把兩個不同點連起來那麼簡單。你要的是同一點附近的方向，所以必須讓兩點間距一路縮小。這時候，導數的雛形就出現了。
今天我們寫
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
看起來像教科書第一行，但它其實是把『割線趨近切線』這件事寫成精確數學。沒有這一步，後面所有微分公式都只是技巧，還不是理論。

差商是第一個真正的公式胚胎

我覺得導數最值得先記的，不是冪次公式，而是差商本身。因為差商是所有微分公式的母體。你看到
f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
其實就是在問：當輸入多一點點時，輸出平均改變多少。
這裡很容易卡住，因為很多學生一開始就直接跳去背結論：x2x^2 微分是 2x2x，x3x^3 微分是 3x23x^2。可如果你沒看過這些公式是怎麼從差商長出來的，它們就會一直像外來規則。
所以歷史上真正厲害的突破，不只是『算出答案』，而是發現可以先寫差商，再讓 hh 趨近於 00。這一步把切線問題從圖形直覺變成可操作的程序。
拿最常見的例子來看，如果 f(x)=x3f(x)=x^3，那麼差商就是
(x+h)3−x3h.\frac{(x+h)^3-x^3}{h}.
先把 (x+h)3(x+h)^3 展開，你會得到
x3+3x2h+3xh2+h3.x^3+3x^2h+3xh^2+h^3.
所以分子其實是
(x3+3x2h+3xh2+h3)−x3=3x2h+3xh2+h3.\left(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\right)-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3.
再除以 hh 之後，式子就變成
3x2+3xh+h2.3x^2+3xh+h^2.
最後讓 h→0h\to 0，含有 hh 的項都消失，剩下來的就是
ddx(x3)=3x2.\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2.
這個例子很值得放在心裡，因為它會讓你真的看到：導數不是憑空冒出一個 3x23x^2，而是差商整理完之後，極限自然留下來的主項。

為什麼極限一進來，公式才開始站得住

導數公式的關鍵，不是把分子展開，而是最後那個極限。因為只要沒有極限，差商就只是平均變化率，不是瞬時變化率。
這也是為什麼微積分歷史上，極限和導數一直綁在一起。古人不是不知道可以看很近的兩點，而是沒有今天這麼成熟的語言能說清楚：『很近很近』最後到底收斂到什麼。
等到極限觀念成熟後，像
lim⁡h→0(x+h)2−x2h\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}
這種式子才不再只是代數遊戲，而真的在代表一個幾何和物理上都有意義的量。
這裡特別選 f(x)=x2f(x)=x^2，不是因為它最重要，而是因為它最容易看出極限到底做了什麼。先把差商展開：
(x+h)2−x2h=x2+2xh+h2−x2h=2xh+h2h=2x+h.\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h.
如果你停在這一步，它還只是兩個很接近的點之間的平均變化率，因為式子裡還帶著 hh。
只有當你真的讓 h→0h\to 0，才會得到
lim⁡h→0(2x+h)=2x.\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.
也就是說，極限做的事不是裝飾，而是把『差一點點』這種直覺，收斂成某一點真正穩定的切線斜率。這就是為什麼沒有極限，導數公式就還站不住。

牛頓和萊布尼茨留給我們的，不只是一個記號

這裡有一個初學時很容易卡住的小地方：yy 不是突然冒出來的。它通常只是把函數值 f(x)f(x) 換個名字來寫，也就是
y=f(x).y=f(x).
所以當你看到 f′(x)f'(x) 和
dydx\frac{dy}{dx}
其實常常是在說同一件事，只是寫法不同。前者比較像站在函數角度說『這是 ff 的導數』，後者比較像站在變數關係角度說『yy 對 xx 的變化率』。
牛頓比較常從運動和速度去想這件事。他關心的是，位置如果隨時間改變，那麼當下的速度怎麼表示。萊布尼茨則把記號整理得更好，像
dydx\frac{dy}{dx}
這種寫法讓後人更容易看出『yy 對 xx 的變化率』。
例如如果
y=x2,y=x^2,
那麼
dydx=2x\frac{dy}{dx}=2x
和
f′(x)=2xf'(x)=2x
講的是同一件事。差別只在你是把它看成一個函數在微分，還是把它看成兩個量之間的變化關係。
所以今天我們看到的導數公式，其實有兩條血統。一條是幾何裡的切線，一條是物理裡的瞬時速度。它們最後在極限語言下合流，才形成現在的導數。
這也是為什麼導數從來不是只有一種解釋。你可以把它看成斜率、速度、靈敏度，甚至局部線性近似的係數。這些角度講的是同一件事，只是視角不同。

如果你要開始讀微分公式，第一步其實是回到這一條

很多公式書都從『公式表』開始，但我反而會建議先把這條記熟：
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h.f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
因為後面所有微分公式，都是這條式子配上代數整理、極限計算之後長出來的。
你如果心裡有這個來源，後面看到冪次、三角、指數、對數微分，就不會覺得它們各自是一套孤立規則，而會知道它們只是同一台引擎推出來的不同結果。
下一篇就從最早也最核心的那批公式開始：為什麼 xnx^n 微分會變成 nxn−1nx^{n-1}。