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成功大學 80 年度 微積分

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第 1 題16 分
(a)8 分
令 an>0a_n > 0 且 ∑n=1∞an\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n 收斂，證明 ∑n=1∞ank\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^k 收斂。(其中當 kk 為大於 1 之常數)
(b)8 分
∑n=1∞sin⁡2(1n)\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin^2(\frac{1}{n}) 是否收斂？ 說明理由。
第 2 題10 分
一登山者於週六早上四點登山，中午到達山頂過夜，隔天(週日)早上六點開始於下山，於早上十一點到達山腳出發點。證明該登山者在登山路線上與點於於上，下山兩天中某一時刻是在同間接時間。
第 3 題10 分
設函數 f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} 為連續且滿足方程式 f(x)=∫0xf(t)dt+1f(x) = \int_0^x f(t) dt + 1，試求此函數 ff。
第 4 題24 分
(a)8 分
求 ∫02∫y2ex2dxdy\int_0^2 \int_y^2 e^{x^2} dx dy。
(b)8 分
令 R={(x,y):x2+y2≤1}R = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1\} 求 ∬Rx2+4y2+1dA\iint_R \sqrt{x^2+4y^2+1} dA。
(c)8 分
S={(x,y):∣x∣+∣y∣≤1}S = \{(x,y) : |x| + |y| \leq 1\} 求 ∬Sex+ydA\iint_S e^{x+y} dA。
第 5 題10 分
求冪級數 ∑n=0∞(−1)n(x−2)n+1n+1\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(x-2)^{n+1}}{n+1} 之收斂區。
第 6 題10 分
求下列積分
(a)5 分
∫−∞∞e(−x−e−x)dx\int_{-\infty}^{\infty} e^{(-x-e^{-x})} dx。
(b)5 分
∫0811+x4dx\int_0^8 \frac{1}{1+\sqrt[4]{x}} dx。
第 7 題10 分
求下列極限
(a)5 分
lim⁡x→0+xln⁡x\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x。
(b)5 分
lim⁡x→0xx2\lim\limits_{x \to 0} x^{x^2}。
第 8 題10 分
用積分方法求橢圓 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 之面積 (a>0,b>0)(a > 0, b > 0)。
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