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台灣大學 105 年度 微積分(A)

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這份試題整理

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PastExamLab Summary
題數
5
題
總分
100
分
已整理詳解
0%
0 / 5 題
主要題型
Multiple integrals 2 題Derivatives of multi-variable functions 1 題Techniques of integration 1 題Infinite Series 1 題

微積分(A) 其他年度考古題

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計算題證明題

每題 20 分，本題須寫出計算或證明過程，不得使用計算機。

作答時若需要可以引用下列兩定理，但必須（由題設出發）說明它們的條件是滿足的。

A.（Abel 定理）給定數列 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} 及一數 x0x_0。若級數 ∑n=1∞anx0n\sum_{n=1}^{\infty} a_n x_0^n 收斂，則對任何 t∈[0,1)t \in [0,1)，級數 ∑n=1∞an(tx0)n\sum_{n=1}^{\infty} a_n (t x_0)^n 收斂，且
lim⁡t→1−∑n=1∞an(tx0)n=∑n=1∞anx0n.\lim_{t \to 1^-} \sum_{n=1}^{\infty} a_n (t x_0)^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_0^n.


B.（隱函數定理）給定 R2\mathbb{R}^2 中的一個開集合 UU，定義於 UU 上的一個光滑 (C∞)(C^{\infty}) 函數 f(x,y)f(x,y)，以及 UU 中一點 (a,b)(a,b)。若 ∂f∂y(a,b)≠0\dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0，則存在 r>0r>0 與 r′>0r' >0 以及定義在 (a−r,a+r)(a-r,a+r) 上的一個光滑 (C∞)(C^{\infty}) 函數 h(x)h(x) 使得
{(x,y)∈U∣f(x,y)=0}∩[(a−r,a+r)×(b−r′,b+r′)]={(x,h(x))∣x∈(a−r,a+r)}.\{(x,y) \in U \mid f(x,y)=0\} \cap [(a-r,a+r) \times (b-r',b+r')] = \{(x,h(x)) \mid x \in (a-r,a+r)\}.
第 1 題20 分Multiple integrals
請計算集合 {(x,y,z)∈R3∣2x2+z2≤1,3y2+z2≤1}\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | 2x^2 + z^2 \leq 1, 3y^2 + z^2 \leq 1\} 的體積。
第 2 題20 分Derivatives of multi-variable functions
假設 f(x,y)f(x, y) 與 g(x,y)g(x, y) 是 R2\mathbb{R}^2 上的兩個光滑 (C∞)(C^\infty) 函數，今 S={(x,y)∣f(x,y)=0}S = \{(x, y) | f(x, y) = 0\}，請證明，如果 p=(a,b)p = (a, b) 是 SS 中一點，同時 ∂f∂x(p)=−4\frac{\partial f}{\partial x}(p) = -4，∂f∂y(p)=2\frac{\partial f}{\partial y}(p) = 2，∂g∂x(p)=12\frac{\partial g}{\partial x}(p) = 12，∂g∂y(p)=−6\frac{\partial g}{\partial y}(p) = -6 且
[∂2f∂x2(p)∂2f∂x∂y(p)∂2f∂y∂x(p)∂2f∂y2(p)]=[1224],[∂2g∂x2(p)∂2g∂x∂y(p)∂2g∂y∂x(p)∂2g∂y2(p)]=[3−1−12],\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(p) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(p) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(p) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(p) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(p) & \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(p) \\ \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(p) & \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}(p) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix},

則存在 R>0R > 0 使得對所有 q∈S∩{(x,y)∣x2+y2<R2}q \in S \cap \{(x, y) | x^2 + y^2 < R^2\} 總有 g(p)<g(q)g(p) < g(q)。
第 3 題20 分Multiple integrals
令 B={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2≤1}B = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\}，請計算以下積分
∭Bcosh⁡(x+y+z) dx dy dz⋅(提示：cosh⁡(t)=et+e−t2)\iiint_B \cosh(x + y + z) \, dx \, dy \, dz \cdot \left( 提示：\cosh(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \right)

（提示：(1) 做適當的變數變換；(2) 你會算 ∭Bcosh⁡(x) dx dy dz\iiint_B \cosh(x) \, dx \, dy \, dz 嗎？）
第 4 題20 分Techniques of integration
請計算以下積分
∫π45π413+sin⁡2x dx\int_\frac{\pi}{4}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{1}{3 + \sin^2 x} \, dx
第 5 題20 分Infinite Series
請證明
∫01∫01∫0111+x4y4z4 dx dy dz=∑n=1∞(−1)n1(4n+1)3\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + x^4 y^4 z^4} \, dx \, dy \, dz = \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n}\frac{1}{(4n + 1)^3}

（在證證中若是你宣稱任何兩個積分相等，請盡可能說明理由；若用到任何一個無窮對數，請務必說明它為何是收斂的。）