第 1 題

Question

Let $f(x) = x^2 \left[1 - \cos\left(\frac{3}{x}ight)ight]$, $x 
eq 0$.

1-1 Evaluate the limit. $\lim\limits_{x 	o 0} f(x)$

1-2 Evaluate the limit. $\lim\limits_{x 	o \infty} f(x)$

1-3 Evaluate the limit. $\lim\limits_{x 	o 0} f'(x)$

Accepted Answer

**1-1：$\lim_{x	o 0} f(x)$**

由 $|1-\cos(3/x)|\leq 2$，故：
$$|f(x)| = x^2|1-\cos(3/x)| \leq 2x^2 	o 0$$

由夾擠定理：$\boxed{\lim_{x	o 0}f(x)=0}$

---

**1-2：$\lim_{x	o\infty} f(x)$**

令 $t = 3/x 	o 0^+$，$x = 3/t$：
$$f = \frac{9}{t^2}(1-\cos t)$$

利用 $1-\cos t \sim t^2/2$（$t	o 0$）：
$$\lim_{t	o 0}\frac{9(1-\cos t)}{t^2} = 9\cdot\frac{1}{2} = \boxed{\dfrac{9}{2}}$$

---

**1-3：$\lim_{x	o 0} f'(x)$**

對 $x
eq 0$ 求導：
$$f'(x) = 2x\left[1-\cos\frac{3}{x}ight] + x^2\cdot\left(-\sin\frac{3}{x}ight)\cdot\left(-\frac{3}{x^2}ight)$$
$$= 2x - 2x\cos\frac{3}{x} + 3\sin\frac{3}{x}$$

當 $x	o 0$：
- $2x 	o 0$
- $|2x\cos(3/x)|\leq 2|x|	o 0$
- $3\sin(3/x)$：因 $3/x	o\infty$ 時正弦函數持續振盪，**無極限**

∴ $\lim_{x	o 0}f'(x)$ **不存在（DNE）**。

（補充：若改用微分定義計算 $f'(0)$，則 $f'(0)=\lim_{h	o 0}h(1-\cos(3/h))=0$；但此為 $f'(0)$，而非 $\lim_{x	o 0}f'(x)$，兩者不同。）

臺灣綜合大學系統 105 年度微積分B

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