臺灣綜合大學系統 108 年微積分B 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

Evaluate the followings.

(a) $\lim\limits_{x 	o 0} \frac{1}{\cos x}$.

(b) $\lim\limits_{x 	o 0} \frac{1 - \cos x}{e^x - 1 - x}$.

Accepted Answer

**(a) 分析思路：**
這是一個直接代入型的極限題目。由於 $\cos x$ 在 $x=0$ 處連續且不為零，直接代入即可。

**解題步驟：**
1. 代入 $x=0$：
   $$\lim_{x 	o 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0}$$
2. 已知 $\cos 0 = 1$：
   $$= \frac{1}{1} = 1$$

**答案:** 1

---

**(b) 分析思路：**
這是一個 $0/0$ 型的不定式極限。我們可以使用泰勒展開式（Taylor Series）或連續使用兩次羅必達法則。

**解題步驟：**
1. **使用泰勒展開：**
   當 $x 	o 0$ 時：
   - $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$
   - $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
2. **分子部分：**
   $1 - \cos x = 1 - (1 - \frac{x^2}{2}) = \frac{x^2}{2}$
3. **分母部分：**
   $e^x - 1 - x = (1 + x + \frac{x^2}{2}) - 1 - x = \frac{x^2}{2}$
4. **極限值：**
   $$\lim_{x 	o 0} \frac{x^2/2}{x^2/2} = 1$$

**答案:** 1

Question 2

Water is pumped into a spherical balloon so that its volume increases at a rate $5cm^3/s$. How fast is the radius of the balloon increasing when the diameter is $4cm$? Here the volume of a ball of radius $r$ is $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Accepted Answer

**分析思路：**
這是一個相關變率（Related Rates）問題。我們需要建立體積與半徑隨時間變化的關係式。

**解題步驟：**
1. **建立物理量公式：**
   球體體積 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$。
2. **對時間 $t$ 求導：**
   $$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$$
3. **代入已知條件：**
   - $\frac{dV}{dt} = 5$ cm³/s
   - 直徑 $d = 4$ cm $\implies$ 半徑 $r = 2$ cm
4. **求解 $\frac{dr}{dt}$：**
   $5 = 4\pi (2)^2 \frac{dr}{dt}$
   $5 = 16\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{5}{16\pi}$

**答案:** $\frac{5}{16\pi}$ cm/s

Question 3

Let $f : (-\delta, \delta) 	o \mathbb{R}$ be a function so that $f(0) = \frac{1}{2}$ for $\delta > 0$. Assume that $f(x)$ satisfies the equation $$x^2 + (f(x))^2 = (2x^2 + 2(f(x))^2 - x)^2$$ for all $x \in (-\delta, \delta)$. Suppose we know that $f$ is differentiable at 0. Compute the tangent line to the curve $y = f(x)$ at the point $\left(0, \frac{1}{2}ight)$.

Accepted Answer

**分析思路：**
題目要求在特定點的切線方程式。我們需要透過隱函數微分法（Implicit Differentiation）求出該點的導數（斜率）。

**解題步驟：**
1. **令 $y = f(x)$ 並對兩邊微分：**
   方程式：$x^2 + y^2 = (2x^2 + 2y^2 - x)^2$
   $$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(2x^2 + 2y^2 - x)^2$$
   $$2x + 2yy' = 2(2x^2 + 2y^2 - x)(4x + 4yy' - 1)$$
2. **代入點 $(0, 1/2)$：**
   $2(0) + 2(1/2)y' = 2(2(0)^2 + 2(1/2)^2 - 0)(4(0) + 4(1/2)y' - 1)$
   $$y' = 2(0 + 1/2 - 0)(0 + 2y' - 1)$$
   $$y' = 1(2y' - 1)$$
   $$y' = 2y' - 1 \implies y' = 1$$
3. **建立切線方程式：**
   使用點斜式，點為 $(0, 1/2)$，斜率 $m = 1$：
   $$y - 1/2 = 1(x - 0) \implies y = x + 1/2$$

**答案:** $y = x + 1/2$

Question 4

Find the minimum of the function $$f(x) = \int_1^{\sqrt{x}} \frac{e^t}{t} dt$$ on $[1, \infty)$. Explain how you obtain the minimum and find the point where the minimum of $f$ occurs.

Accepted Answer

**分析思路：**
這是一個變上限積分函數。我們需要利用微積分基本定理（FTC）求導，判斷函數的單調性來找出極值。

**解題步驟：**
1. **求 $f(x)$ 的導數：**
   根據萊布尼茲法則與連鎖律：
   $$f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2x}$$
2. **分析導數的正負：**
   在定義域 $[1, \infty)$ 內，指數函數 $e^{\sqrt{x}}$ 恆正，且分母 $2x \ge 2$ 恆正。
   因此，對於所有 $x \in [1, \infty)$，$f'(x) > 0$。
3. **判斷單調性與極值：**
   由於 $f'(x)$ 始終大於零，函數 $f(x)$ 在區間 $[1, \infty)$ 上為「嚴格遞增」。
   遞增函數的最小值必定發生在區間的起點 $x = 1$。
4. **計算最小值：**
   $$f(1) = \int_1^{\sqrt{1}} \frac{e^t}{t} dt = \int_1^1 \frac{e^t}{t} dt = 0$$

**答案:** 最小值為 0，發生在 $x = 1$。

Question 5

Find the volume of the solid $S$ where the base of $S$ is a circular disk of radius $1$ and parallel cross sections perpendicular to its base are squares.

Accepted Answer

**分析思路：**
已知底面為單位圓，且垂直於底面的截面為正方形。我們可以使用已知截面積的體積積分公式 $V = \int_a^b A(x) dx$。

**解題步驟：**
1. **描述底面：**
   底面圓方程式為 $x^2 + y^2 = 1$。對應的 $y$ 值範圍為 $y = \pm \sqrt{1 - x^2}$。
2. **計算截面積 $A(x)$：**
   對於固定的 $x$，截面邊長 $s$ 等於底面圓在該位置的跨度：
   $$s = \sqrt{1 - x^2} - (-\sqrt{1 - x^2}) = 2\sqrt{1 - x^2}$$
   截面為正方形，故面積為：
   $$A(x) = s^2 = (2\sqrt{1 - x^2})^2 = 4(1 - x^2)$$
3. **建立體積積分：**
   圓的範圍從 $x = -1$ 到 $x = 1$：
   $$V = \int_{-1}^1 4(1 - x^2) dx = 4 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1$$
4. **計算數值：**
   $$V = 4 \left( (1 - 1/3) - (-1 + 1/3) ight) = 4 ( 2/3 + 2/3 ) = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$

**答案:** $16/3$

Question 6

Evaluate the improper integral $$\int_0^{\infty} \frac{x 	an^{-1} x}{(1 + x^2)^2} dx$$ if it exists. Here $	an^{-1} x = \arctan x$.

Accepted Answer

**分析思路：**
這是一個瑕積分，觀察分母 $(1+x^2)^2$ 帶有微分關聯項，適合先使用分部積分法（Integration by Parts），再進行變數代換。

**解題步驟：**
1. **設定分部積分項：**
   令 $u = \arctan x \implies du = \frac{1}{1+x^2} dx$
   令 $dv = \frac{x}{(1+x^2)^2} dx \implies v = -\frac{1}{2(1+x^2)}$
2. **套用公式 $\int u dv = uv - \int v du$：**
   $$\int \frac{x \arctan x}{(1 + x^2)^2} dx = \left[ -\frac{\arctan x}{2(1+x^2)} ight]_0^\infty + \int_0^\infty \frac{1}{2(1+x^2)^2} dx$$
3. **計算邊界值：**
   - 當 $x 	o \infty$，$\frac{\pi/2}{\infty} 	o 0$。
   - 當 $x = 0$，$\frac{0}{2} = 0$。
   故第一項為 $0$。
4. **計算剩餘積分：**
   對 $\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$，令 $x = 	an	heta, dx = \sec^2	heta d	heta$：
   $$\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2	heta}{(\sec^2	heta)^2} d	heta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \cos^2	heta d	heta$$
   $$= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2	heta}{2} d	heta = \frac{1}{4} [ 	heta + \frac{\sin 2	heta}{2} ]_0^{\pi/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$$

**答案:** $\pi/8$

Question 7

Find the radius of convergence and the interval of convergence of the power series $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n^2} x^n.$$

Accepted Answer

**分析思路：**
使用比值判別法（Ratio Test）尋找收斂半徑 $R$，並單獨測試收斂區間的端點。

**解題步驟：**
1. **計算極限 $L$：**
   $$L = \lim_{n 	o \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = \lim_{n 	o \infty} \left| \frac{(-2)^{n+1} x^{n+1} / (n+1)^2}{(-2)^n x^n / n^2} ight|$$
   $$L = \lim_{n 	o \infty} | -2x | \cdot \left(\frac{n}{n+1}ight)^2 = 2|x|$$
2. **求收斂半徑 $R$：**
   令 $2|x| < 1 \implies |x| < 1/2$。故 **$R = 1/2$**。
3. **檢查端點 $x = 1/2$：**
   級數為 $\sum \frac{(-2)^n (1/2)^n}{n^2} = \sum \frac{(-1)^n}{n^2}$。此為絕對收斂的交錯級數 ($p=2 > 1$)。
4. **檢查端點 $x = -1/2$：**
   級數為 $\sum \frac{(-2)^n (-1/2)^n}{n^2} = \sum \frac{1}{n^2}$。此為收斂的 p-級數 ($p=2$)。
5. **得出區間：**
   收斂區間為 $[-1/2, 1/2]$。

**答案:** 收斂半徑 $R = 1/2$，收斂區間為 $[-1/2, 1/2]$

Question 8

Let $f$ be the function $$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2 + \frac{1}{2}y^3}{x^2 + y^2} & 	ext{if } (x, y) 
eq (0, 0) \ 0 & 	ext{if } (x, y) = (0, 0). \end{cases}$$ Evaluate $f_x(0, 0)$ and $f_y(0, 0)$ if they exist.

Accepted Answer

**分析思路：**
由於函數在原點分段定義，必須使用偏導數的定義式來計算。

**解題步驟：**
1. **計算對 $x$ 的偏導：**
   $$f_x(0,0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h, 0) - f(0,0)}{h}$$
   $f(h, 0) = \frac{0 + 0}{h^2 + 0} = 0$
   $$f_x(0,0) = \lim_{h 	o 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$$
2. **計算對 $y$ 的偏導：**
   $$f_y(0,0) = \lim_{k 	o 0} \frac{f(0, k) - f(0,0)}{k}$$
   $f(0, k) = \frac{0 + \frac{1}{2}k^3}{0 + k^2} = \frac{1}{2}k$
   $$f_y(0,0) = \lim_{k 	o 0} \frac{\frac{1}{2}k - 0}{k} = 1/2$$

**答案:** $f_x(0, 0) = 0, f_y(0, 0) = 1/2$

Question 9

Use Lagrange multipliers to find the extremum of the function $$f(x, y, z) = xyz$$ subject to the constraint $xy + 2xz + 2yz = 12$.

Accepted Answer

**分析思路：**
使用拉格朗日乘數法，建立 $
abla f = \lambda 
abla g$ 的方程組求解。

**解題步驟：**
1. **建立方程組：**
   $g(x,y,z) = xy + 2xz + 2yz - 12 = 0$
   - $f_x = \lambda g_x \implies yz = \lambda(y + 2z) \quad (1)$
   - $f_y = \lambda g_y \implies xz = \lambda(x + 2z) \quad (2)$
   - $f_z = \lambda g_z \implies xy = \lambda(2x + 2y) \quad (3)$
2. **消去 $\lambda$ 求變數比例：**
   由 (1) 和 (2)：$yz(x+2z) = xz(y+2z) \implies xyz + 2yz^2 = xyz + 2xz^2 \implies y = x$
   由 (2) 和 (3)：$xz(2x+2y) = xy(x+2z) \implies 2x^2z + 2xyz = x^2y + 2xyz \implies 2z = y$
   故 $x = y = 2z$。
3. **代入限制式：**
   $(2z)(2z) + 2(2z)z + 2(2z)z = 12$
   $4z^2 + 4z^2 + 4z^2 = 12 \implies 12z^2 = 12 \implies z^2 = 1$
   解得 $z = \pm 1$。
4. **計算極值：**
   - 若 $z = 1$，則 $x=2, y=2$，得 $f(2,2,1) = 4$。
   - 若 $z = -1$，則 $x=-2, y=-2$，得 $f(-2,-2,-1) = -4$。

**答案:** 極大值為 4，極小值為 -4

Question 10

Let $a > 0$. Evaluate the double integral $$\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \cos(x^2 + y^2) dy dx.$$

Accepted Answer

**分析思路：**
積分區域是一個半徑為 $a$ 的圓盤盤。被積函數含有 $x^2 + y^2$，這強烈建議使用**極座標 (Polar Coordinates)** 進行轉換。

**解題步驟：**
1. **轉換座標：**
   令 $x = r\cos	heta, y = r\sin	heta \implies x^2 + y^2 = r^2$
   面積元素 $dy dx = r dr d	heta$
2. **確定積分範圍：**
   全圓範圍為：$0 \le r \le a$ 且 $0 \le 	heta \le 2\pi$
3. **建立極座標積分：**
   $$\int_0^{2\pi} \int_0^a \cos(r^2) r \, dr d	heta$$
4. **逐步計算：**
   內層積分：令 $u = r^2, du = 2r dr \implies r dr = du/2$
   $$\frac{1}{2} \int_0^{a^2} \cos u \, du = \frac{1}{2} [ \sin u ]_0^{a^2} = \frac{1}{2} \sin(a^2)$$
   外層積分：
   $$\int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \sin(a^2) d	heta = \frac{1}{2} \sin(a^2) \cdot 2\pi = \pi \sin(a^2)$$

**答案:** $\pi \sin(a^2)$

臺灣綜合大學系統 108 年度微積分B

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