臺灣綜合大學系統 113 年微積分C 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

(a) Evaluate $\lim\limits_{x 	o 2} \frac{|6x - 17| - |6x - 7|}{3x - 6}$.

(b) Evaluate $\lim\limits_{x 	o 0} [\cos(2x)]^{x^{-2}}$.

Accepted Answer

**(a)** 先分析 $x	o 2$ 附近兩個絕對值的正負。

- $6x-17$：當 $x=2$ 時值為 $-5<0$，故在 $x=2$ 附近 $|6x-17| = 17-6x$。
- $6x-7$：當 $x=2$ 時值為 $5>0$，故在 $x=2$ 附近 $|6x-7| = 6x-7$。

代入分子：
$$|6x-17|-|6x-7| = (17-6x)-(6x-7) = 24-12x = -12(x-2)$$

分母：$3x-6 = 3(x-2)$。

$$\lim_{x	o 2}\frac{-12(x-2)}{3(x-2)} = \frac{-12}{3} = \boxed{-4}$$

（消去公因子 $x-2
eq 0$，因為是趨近過程。）

---

**(b)** 對冪次型極限取對數，化為 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 後再處理。

設 $L = \lim_{x	o 0}[\cos(2x)]^{1/x^2}$，則：
$$\ln L = \lim_{x	o 0}\frac{\ln\cos(2x)}{x^2}$$

這是 $0/0$ 型，可用 Taylor 展開（或 L'Hôpital）：

$$\cos(2x) = 1-\frac{(2x)^2}{2!}+O(x^4) = 1-2x^2+O(x^4)$$

$$\ln\cos(2x) = \ln(1-2x^2+O(x^4))$$

利用 $\ln(1+u)\approx u$ 當 $u	o 0$：
$$= -2x^2+O(x^4)$$

$$\ln L = \lim_{x	o 0}\frac{-2x^2+O(x^4)}{x^2} = -2$$

$$\boxed{L = e^{-2}}$$

Question 2

Let $C$ be the curve defined by the parametric equations $x = t^3+1$, $y = t^4+t$. Find the slope of the tangent line to $C$ at the point $(0, 0)$.

Accepted Answer

**Step 1：求對應的參數值 $t$**

由 $x=0$：$t^3+1=0 \Rightarrow t^3=-1 \Rightarrow t=-1$。

驗算 $y$：$(-1)^4+(-1) = 1-1=0$ ✓，確認點 $(0,0)$ 對應 $t=-1$。

**Step 2：計算各參數導數**

$$\frac{dx}{dt} = 3t^2,\qquad \frac{dy}{dt} = 4t^3+1$$

在 $t=-1$：
$$\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=-1} = 3(-1)^2 = 3$$
$$\frac{dy}{dt}\bigg|_{t=-1} = 4(-1)^3+1 = -4+1 = -3$$

**Step 3：鏈鎖律求切線斜率**

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3}{3} = \boxed{-1}$$

Question 3

If $y^5 + 5xy + 1 = 0$, find the value of $\frac{d^2y}{dx^2}$ at the point $(0, -1)$.

Accepted Answer

**Step 1：隱式微分求 $y'$**

對 $y^5+5xy+1=0$ 兩邊對 $x$ 微分：
$$5y^4 y' + 5y + 5xy' = 0$$
$$y'(5y^4+5x) = -5y$$
$$y' = \frac{-y}{y^4+x}$$

在 $(0,-1)$：
$$y'\big|_{(0,-1)} = \frac{-(-1)}{(-1)^4+0} = \frac{1}{1} = 1$$

**Step 2：再次微分求 $y''$**

對 $y' = \dfrac{-y}{y^4+x}$ 使用商法則（分子 $u=-y$，分母 $v=y^4+x$）：

$$y'' = \frac{(-y)'(y^4+x) - (-y)(y^4+x)'}{(y^4+x)^2}$$

計算各部分導數：
$$(-y)' = -y'$$
$$(y^4+x)' = 4y^3 y' + 1$$

代入：
$$y'' = \frac{-y'(y^4+x) + y(4y^3y'+1)}{(y^4+x)^2}$$

**Step 3：代入 $(0,-1)$，此時 $y=-1$，$y'=1$，$y^4+x=1$**

分子：
$$-1\cdot(1) + (-1)(4(-1)^3\cdot 1+1) = -1 + (-1)(-4+1) = -1+(-1)(-3) = -1+3 = 2$$

分母：$1^2=1$

$$y''\big|_{(0,-1)} = \frac{2}{1} = \boxed{2}$$

Question 4

Find the absolute maximum value of the function $f(x) = x^8 e^{1-x^2}$.

Accepted Answer

**Step 1：求導數** $$f'(x) = 8x^7 e^{1-x^2} + x^8 e^{1-x^2}\cdot(-2x) = e^{1-x^2}\cdot x^7(8-2x^2) = 2e^{1-x^2}\cdot x^7(4-x^2)$$ （$e^{1-x^2}>0$ 恆成立，不影響正負號。） **Step 2：求臨界點（$f'(x)=0$）** $$2e^{1-x^2}\cdot x^7\cdot(4-x^2) = 0$$ 解：$x=0$ 或 $4-x^2=0\Rightarrow x=\pm 2$。 **Step 3：分析各點的函數值** | $x$ | $f(x)$ | 說明 | |-----|--------|------| | $0$ | $0$ | 極小值 | | $2$ | $2^8\cdot e^{1-4} = 256e^{-3}$ | 候選極大值 | | $-2$ | $(-2)^8\cdot e^{1-4} = 256e^{-3}$ | 候選極大值（偶次方故與正同值） | **Step 4：確認為全域最大值** 當 $|x| o\infty$：$f(x) = x^8 e^{1-x^2} o 0$（指數衰減遠快於冪次增長）。在 $x\in(0,2)$：$x^7>0$，$4-x^2>0$，故 $f'>0$（遞增）。在 $x\in(2,\infty)$：$x^7>0$，$4-x^2<0$，故 $f'<0$（遞減）。因此 $x=\pm 2$ 確為全域最大值點。 $$ ext{絕對最大值} = f(\pm 2) = 256e^{-3} = \boxed{\dfrac{256}{e^3}}$$

Question 5

Evaluate $\int_0^3 \sqrt{6x - x^2} dx$.

Accepted Answer

**Step 1：對被積式配方**

$$6x-x^2 = -(x^2-6x) = -(x^2-6x+9)+9 = 9-(x-3)^2$$

故 $\sqrt{6x-x^2} = \sqrt{9-(x-3)^2}$，這是圓心 $(3,0)$、半徑 $3$ 的上半圓。

**Step 2：換元識別幾何意義**

令 $u = x-3$，$du = dx$；積分限 $x:0	o 3$ 對應 $u:-3	o 0$。

$$\int_0^3\sqrt{9-(x-3)^2}\,dx = \int_{-3}^0\sqrt{9-u^2}\,du$$

$y = \sqrt{9-u^2}$ 是半徑為 $3$ 的上半圓曲線，$\displaystyle\int_{-3}^0\sqrt{9-u^2}\,du$ 為此圓弧在 $u\in[-3,0]$ 上方的面積，恰好是**四分之一圓**。

**Step 3：面積公式**

$$\int_{-3}^0\sqrt{9-u^2}\,du = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi(3)^2 = \boxed{\dfrac{9\pi}{4}}$$

（若要用三角代換驗證：令 $u=3\sin	heta$，得相同結果。）

Question 6

Let $R$ be the region bounded by the curve $y = x^2 - x^7$ and the $x$-axis. Find the volume of the solid obtained by rotating $R$ about the line $x = 3$.

Accepted Answer

**Step 1：確認積分範圍**

曲線 $y = x^2 - x^7 = x^2(1-x^5)$ 與 $x$ 軸的交點：
$$x^2(1-x^5)=0 \Rightarrow x=0 	ext{ 或 } x=1$$

在 $x\in[0,1]$：$y = x^2-x^7\geq 0$，故區域 $R$ 位於此範圍。

**Step 2：殼法（Shell Method）設定**

旋轉軸為 $x=3$，對位於 $x\in[0,1]$ 的薄殼：
- 殼半徑 $= 3-x$
- 殼高度 $= x^2-x^7$

$$V = 2\pi\int_0^1 (3-x)(x^2-x^7)\,dx$$

**Step 3：展開被積式**

$$(3-x)(x^2-x^7) = 3x^2-3x^7-x^3+x^8$$

$$V = 2\pi\int_0^1 (3x^2-x^3-3x^7+x^8)\,dx$$

**Step 4：逐項積分**

$$= 2\pi\left[x^3 - \frac{x^4}{4} - \frac{3x^8}{8} + \frac{x^9}{9}ight]_0^1$$

$$= 2\pi\left(1 - \frac{1}{4} - \frac{3}{8} + \frac{1}{9}ight)$$

通分（公分母 72）：
$$= 2\pi\cdot\frac{72-18-27+8}{72} = 2\pi\cdot\frac{35}{72}$$

$$\boxed{V = \dfrac{35\pi}{36}}$$

Question 7

Find the interval of convergence of the series $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n(x-3)^n}{2^n(n^2+1)}$.

Accepted Answer

**Step 1：比值測試求收斂半徑**

令 $a_n = \dfrac{n(x-3)^n}{2^n(n^2+1)}$，計算：

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight| = |x-3|\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}$$

當 $n	o\infty$，$\dfrac{n+1}{n}	o 1$，$\dfrac{n^2+1}{(n+1)^2+1}	o 1$，故：

$$L = \lim_{n	o\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}ight| = \frac{|x-3|}{2}$$

收斂條件 $L < 1$：$|x-3|<2$，即 $x\in(1,5)$，收斂半徑 $R=2$。

**Step 2：端點檢驗**

**$x=5$（即 $x-3=2$）：**
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cdot 2^n}{2^n(n^2+1)} = \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+1}$$
由於 $\dfrac{n}{n^2+1}\sim\dfrac{1}{n}$，與調和級數比較，**發散**。

**$x=1$（即 $x-3=-2$）：**
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n(-2)^n}{2^n(n^2+1)} = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n n}{n^2+1}$$
$b_n = \dfrac{n}{n^2+1}$ 單調遞減趨於 $0$，由 **交錯級數測試（Leibniz 判別法）** 知**收斂**。

**Step 3：結論**

$$\boxed{	ext{收斂區間} = [1,\,5)}$$

Question 8

Let $f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 4xy + z + 1$. Find all possible numbers $a, b, c \in \mathbb{R}$ such that the direction in which $f$ increases most rapidly at the point $(a, b, c)$ is in the direction of $\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$.

Accepted Answer

**Step 1：計算梯度**

$$
abla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}ight) = (2x-4y,\;2y-4x,\;1)$$

**Step 2：設定平行條件**

$f$ 在 $(a,b,c)$ 增加最快的方向即為 $
abla f(a,b,c)$ 的方向。

要求此方向平行於 $\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}$，即存在純量 $\lambda$ 使得：

$$(2a-4b,\;2b-4a,\;1) = \lambda(1,1,2)$$

**Step 3：由 $z$ 分量解 $\lambda$**

$$1 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$$

**Step 4：由 $x,y$ 分量解 $a,b$**

$$2a-4b = \frac{1}{2} \Rightarrow 4a-8b = 1 \quad\cdots(i)$$
$$2b-4a = \frac{1}{2} \Rightarrow -8a+4b = 1 \quad\cdots(ii)$$

$(i)	imes 2$：$8a - 16b = 2$
加上 $(ii)$：$-12b = 3 \Rightarrow b = -\dfrac{1}{4}$

代回 $(i)$：$4a - 8\left(-\dfrac{1}{4}ight) = 1 \Rightarrow 4a+2=1 \Rightarrow a = -\dfrac{1}{4}$

**Step 5：結論**

$c$ 不出現在梯度中，故可為任意實數。

$$\boxed{a = b = -\frac{1}{4},\quad c\in\mathbb{R}}$$

Question 9

Evaluate $\displaystyle\iint\limits_D \cos(x + y) dA$, where $D = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid |x| + |y| \leq \frac{\pi}{6}\right\}$.

Accepted Answer

**Step 1：換元化簡積分域**

令 $u = x+y$，$v = x-y$，則反代換為 $x = \dfrac{u+v}{2}$，$y = \dfrac{u-v}{2}$。

Jacobian：
$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}ight| = \begin{vmatrix} 1/2 & 1/2 \ 1/2 & -1/2 \end{vmatrix} = -\frac{1}{2} \Rightarrow |J| = \frac{1}{2}$$

**Step 2：確認新積分域**

利用四象限分析可得：
$$|x|+|y| = \left|\frac{u+v}{2}ight|+\left|\frac{u-v}{2}ight| = \max(|u|,|v|)$$

因此 $D$ 中的菱形 $|x|+|y|\leq\dfrac{\pi}{6}$ 對應到 $(u,v)$ 空間中的**正方形**：
$$|u|\leq\frac{\pi}{6} \quad	ext{且}\quad |v|\leq\frac{\pi}{6}$$

**Step 3：計算積分**

被積函數 $\cos(x+y) = \cos(u)$，與 $v$ 無關：

$$\iint_D\cos(x+y)\,dA = \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos(u)\cdot\frac{1}{2}\,dv\,du$$

$$= \frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos(u)\,du\cdot\int_{-\pi/6}^{\pi/6}dv$$

$$= \frac{1}{2}\cdot\Big[\sin u\Big]_{-\pi/6}^{\pi/6}\cdot\frac{\pi}{3}$$

$$= \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ight)\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\frac{\pi}{3}$$

$$\boxed{\dfrac{\pi}{6}}$$

Question 10

Let $\mathbf{F}$ be the vector field defined by $$\mathbf{F}(x, y, z) = (9x^2 z)\mathbf{i} + (8\sin(x^3) + e^{2z})\mathbf{j} + (x^5 y \ln(x^2 + 1))\mathbf{k}$$, and let $S$ be the surface of the solid bounded by the planes $x + 3z = 6$, $y = 3$, $x = 0$, $y = 0$, and $z = 0$. Suppose $S$ is given with positive (outward) orientation. Evaluate the flux of $\mathbf{F}$ across $S$.

Accepted Answer

**Step 1：計算散度**

$$
abla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial(9x^2z)}{\partial x}+\frac{\partial(8\sin x^3+e^{2z})}{\partial y}+\frac{\partial(x^5y\ln(x^2+1))}{\partial z}$$

$$= 18xz + 0 + 0 = 18xz$$

**Step 2：確認積分區域**

由 $x+3z=6$，$x=0$，$z=0$（在 $xz$ 平面），以及 $y\in[0,3]$，立體為三稜柱：
- $xz$ 橫截面：三角形，頂點 $(0,0)$、$(6,0)$、$(0,2)$，邊界 $x\geq 0$、$z\geq 0$、$z\leq\dfrac{6-x}{3}$
- $y$ 方向：$0\leq y\leq 3$

**Step 3：由散度定理計算通量**

$$\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V 18xz\,dV = \int_0^3 dy\int_0^6\int_0^{(6-x)/3} 18xz\,dz\,dx$$

先對 $y$ 積分（被積式與 $y$ 無關）：
$$= 3\int_0^6 18x\left[\frac{z^2}{2}ight]_0^{(6-x)/3}dx = 3\int_0^6 18x\cdot\frac{(6-x)^2}{18}\,dx$$

$$= 3\int_0^6 x(6-x)^2\,dx$$

**Step 4：展開積分**

$$\int_0^6 x(6-x)^2\,dx = \int_0^6(36x-12x^2+x^3)\,dx$$

$$= \left[18x^2-4x^3+\frac{x^4}{4}ight]_0^6 = 18(36)-4(216)+\frac{1296}{4}$$

$$= 648-864+324 = 108$$

**Step 5：最終結果**

$$\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 3	imes 108 = \boxed{324}$$

臺灣綜合大學系統 113 年度微積分C

這份試題整理

微積分C 其他年度考古題

臺灣綜合大學系統 113 年度 微積分C

這份試題整理

微積分C 其他年度考古題

臺灣綜合大學系統 113 年度微積分C