台灣聯合大學系統 113 年微積分 A2 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

Evaluate the integral: $$\int_0^\infty \int_y^\infty y^2 e^{-x^2} dx dy.$$

Accepted Answer

先看積分區域：外積分 $y\in[0,\infty)$，內積分 $x\in[y,\infty)$，等價於
$$0\le y\le x<\infty.$$
交換積分次序：先固定 $x\ge0$，則 $y\in[0,x]$。

因此
$$\int_0^\infty\int_y^\infty y^2 e^{-x^2}\,dx\,dy
=\int_0^\infty\int_0^x y^2 e^{-x^2}\,dy\,dx
=\int_0^\infty e^{-x^2}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{x}\,dx
=\frac13\int_0^\infty x^3 e^{-x^2}\,dx.$$
令 $u=x^2$，$du=2x\,dx$，則 $x^3dx=x^2\cdot xdx=u\cdot\frac12du$，故
$$\frac13\int_0^\infty x^3 e^{-x^2}\,dx
=\frac13\int_0^\infty \frac{u}{2}e^{-u}\,du
=\frac16\int_0^\infty u e^{-u}\,du
=\frac16\Gamma(2)=\frac16.$$

答案：$\boxed{\frac16}$.

Question 2

Find the inflection points of the function $$f(x) = e^x \sin x$$ over the interval $[0, 2\pi]$. Remind you that the inflection point is where concavity changes and it is a point on the graph.

Accepted Answer

$f(x)=e^x\sin x$。

先算二階導數：
$$f'(x)=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x).$$
$$f''(x)=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)=2e^x\cos x.$$

拐點需滿足 $f''(x)=0$ 且凹凸性改變。由 $e^x>0$，故
$$f''(x)=0\iff \cos x=0\iff x=\frac\pi2,\ \frac{3\pi}{2}.$$
在 $(0,\pi/2)$ 內 $\cos x>0$，在 $(\pi/2,3\pi/2)$ 內 $\cos x<0$，在 $(3\pi/2,2\pi)$ 內 $\cos x>0$，兩點皆有變號，因此皆為拐點。

拐點座標：
$$\left(\frac\pi2, f\left(\frac\pi2\right)\right)=\left(\frac\pi2, e^{\pi/2}\right),\qquad
\left(\frac{3\pi}{2}, f\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)=\left(\frac{3\pi}{2}, -e^{3\pi/2}\right).$$

Question 3

Evaluate $$\lim\limits_{x 	o 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$$

Accepted Answer

將分母有理化：
$$\frac{x\sin x}{1-\cos x}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}
=\frac{x\sin x(1+\cos x)}{1-\cos^2 x}
=\frac{x(1+\cos x)}{\sin x}.$$
取極限 $x	o0$，有 $1+\cos x	o2$，且 $\sin x\sim x$，故
$$\lim_{x	o0}\frac{x(1+\cos x)}{\sin x}=2.$$
答案：$\boxed{2}$.

Question 4

Find the interval of convergence of the following power series: $$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+2)}{3^n}(x-3)^n.$$

Accepted Answer

此為冪級數 $\sum_{n=0}^\infty c_n(x-3)^n$，其中
$$c_n=\frac{(-1)^n(n+2)}{3^n}.$$
由比值判別：
$$\lim_{n	o\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}ight|=
\lim_{n	o\infty}\frac{n+3}{3(n+2)}=\frac13.$$
故收斂半徑 $R=3$，即當 $|x-3|<3$（亦即 $x\in(0,6)$）必收斂。

檢查端點：
1. $x=6$ 時，$(x-3)^n=3^n$，級數變為 $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(n+2)$，項不趨 0，發散。
2. $x=0$ 時，$(x-3)^n=(-3)^n=(-1)^n3^n$，級數變為 $\sum_{n=0}^\infty (n+2)$，發散。

因此收斂區間為 $\boxed{(0,6)}$.

Question 5

Let $$f(x) = \begin{cases} \sin(2x), & 	ext{if } x \leq 0; \ 2x^2 + ax + b - 3, & 	ext{if } x > 0. \end{cases}$$ Find $a$ and $b$ such that $f$ is differentiable at $0$. Write your answer as $(a,b)$.

Accepted Answer

要在 $x=0$ 可微，需先連續且左右導數相等。

連續：
$$f(0^-)=\sin(0)=0,\qquad f(0^+)=2\cdot0^2+a\cdot0+b-3=b-3.$$
令 $b-3=0$ 得 $b=3$。

導數：
當 $x<0$，$f'(x)=2\cos(2x)$，故 $f'(0^-)=2$。
當 $x>0$，$f'(x)=4x+a$，故 $f'(0^+)=a$。
令 $a=2$。

答案：$\boxed{(a,b)=(2,3)}$.

Question 6

Find the volume of the right circular cone of base radius $r$ and height $h$ as shown in the following figure. Write you answer in terms of $h$ and $r$.

Accepted Answer

取錐體頂點在 $z=0$，底面在 $z=h$。由相似三角形，於高度 $z$ 的截面半徑為
$$\rho(z)=\frac{r}{h}z.$$
用圓盤法：
$$V=\int_0^h \pi\rho(z)^2\,dz
=\int_0^h \pi\left(\frac{r}{h}z\right)^2 dz
=\pi\frac{r^2}{h^2}\int_0^h z^2\,dz
=\pi\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3}
=\frac13\pi r^2 h.$$

答案：$\boxed{V=\frac13\pi r^2 h}$.

Question 7

Find all the extrema of the function $f(x,y) = x^3 - 12xy + 8y^3$ on $(-\infty,\infty) 	imes (-\infty,\infty)$.

Accepted Answer

求臨界點：
$$f_x=3x^2-12y=0\Rightarrow y=\frac{x^2}{4}.$$
$$f_y=-12x+24y^2=0\Rightarrow x=2y^2.$$
代入得 $x=2(x^2/4)^2=x^4/8$，即
$$x^4-8x=0\Rightarrow x(x^3-8)=0\Rightarrow x=0	ext{ 或 }x=2.$$
對應 $y=x^2/4$ 得臨界點 $(0,0)$、$(2,1)$。

分類：Hessian
$$f_{xx}=6x,\quad f_{yy}=48y,\quad f_{xy}=-12,$$
$$D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=288xy-144.$$
(0,0) 時 $D=-144<0$，為鞍點。
(2,1) 時 $D=288\cdot2\cdot1-144=432>0$ 且 $f_{xx}(2,1)=12>0$，為局部極小。

極值點：局部極小在 $(2,1)$，其值 $f(2,1)=8-24+8=-8$；(0,0) 為鞍點，無局部極大。

Question 8

Suppose that $x^2 + xy = \sin x$. Find $dy/dx$ in terms of $x$ and $y$.

Accepted Answer

對 $x^2+xy=\sin x$ 兩邊對 $x$ 微分：
$$\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(xy)=\frac{d}{dx}(\sin x)$$
$$2x+(x\,y'+y)=\cos x.$$
整理得
$$x\,y'=\cos x-2x-y,$$
故（$x
e0$ 時）
$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{\cos x-2x-y}{x}}.$$

Question 9

Determine for which $p \geq 0$ the series $$\sum\limits_{n=3}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^p}$$ converges or diverges.

Accepted Answer

考慮積分判別法：
$$\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^p}$$
對應函數 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^p}$（$x\ge3$）正且遞減。

檢查
$$\int_3^\infty \frac{1}{x(\ln x)^p}\,dx.$$
令 $u=\ln x$，$du=dx/x$，則
$$\int_3^\infty \frac{1}{x(\ln x)^p}\,dx=\int_{\ln 3}^{\infty} u^{-p}\,du.$$
此積分在且僅在 $p>1$ 時收斂（因 $\int u^{-p}du$ 的無窮端收斂條件為指數 $>1$）。

結論：
- $p>1$ 時級數收斂；
- $0\le p\le1$ 時級數發散。

Question 10

A tank initially contains 20 gallons of pure water. Brine (high-concentration solution of salt) containing 2 pounds of salt per gallon flows into the tank at a rate of 4 gallons per minute, and the well-stirred mixture flows out of the tank at the same rate. How much slat is present at the end of 10 minutes?

Accepted Answer

設 $S(t)$ 為 $t$ 分鐘後槽內鹽的重量（lb）。

流入：濃度 $2$ lb/gal、流量 $4$ gal/min，故流入鹽速率 $=2\cdot4=8$ lb/min。

流出：體積恆為 $20$ gal（流入=流出），槽內濃度為 $S(t)/20$ lb/gal，流出流量 $4$ gal/min，故流出鹽速率 $=4\cdot S(t)/20=S(t)/5$ lb/min。

因此微分方程
$$S'(t)=8-\frac{S(t)}{5},\qquad S(0)=0.$$
解得
$$S'(t)+\frac15S(t)=8.$$
通解 $S(t)=Ce^{-t/5}+40$，代入 $S(0)=0$ 得 $C=-40$。

故
$$S(t)=40\left(1-e^{-t/5}ight).$$
$t=10$ 時
$$S(10)=40\left(1-e^{-2}ight)	ext{ lb}.$$
答案：$\boxed{40(1-e^{-2})	ext{ lb}}$.

Question 11

Find the area of the region $R$ that is completely enclosed by the graphs of the functions $$y = f(x) = e^x - e^{-x} + 3 \quad 	ext{and} \quad y = g(x) = 2e^x + 5e^{-x} - 2.$$

Accepted Answer

先求交點：令 $f(x)=g(x)$：
$$e^x-e^{-x}+3=2e^x+5e^{-x}-2$$
$$0=e^x+6e^{-x}-5.$$
令 $t=e^x>0$，則 $e^{-x}=1/t$，得
$$t+\frac{6}{t}-5=0\Rightarrow t^2-5t+6=0\Rightarrow (t-2)(t-3)=0.$$
故交點 $x=\ln2,\ \ln3$。

在區間 $t\in(2,3)$ 時，$t+6/t-5<0$，即 $g(x)-f(x)<0$，故 $f$ 在上、$g$ 在下。

面積
$$A=\int_{\ln2}^{\ln3} (f(x)-g(x))\,dx
=\int_{\ln2}^{\ln3} \bigl(-e^x-6e^{-x}+5\bigr)\,dx.$$
積分得
$$A=\left[-e^x+6e^{-x}+5x\right]_{\ln2}^{\ln3}
=\Bigl(-3+\frac{6}{3}+5\ln3\Bigr)-\Bigl(-2+\frac{6}{2}+5\ln2\Bigr)
=5\ln\frac{3}{2}-2.$$

答案：$\boxed{5\ln\frac{3}{2}-2}$.

台灣聯合大學系統 113 年度微積分 A2

這份試題整理

微積分 A2 其他年度考古題

$一、填充題$

$二、計算、證明題$

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