台灣聯合大學系統 114 年微積分 A2 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

Evaluate $$\lim\limits_{n 	o \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})}$$

Accepted Answer

我們需要計算極限 $\lim\limits_{n 	o \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})}$。

首先處理分母中的 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$，使用有理化技巧：

$$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$

將此結果代入原式：

$$\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}} = \frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})^2}{n}$$

展開分子：
$$(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})^2 = (n+1) + 2\sqrt{n(n+1)} + n = 2n + 1 + 2\sqrt{n(n+1)}$$

因此原式變為：
$$\frac{2n + 1 + 2\sqrt{n(n+1)}}{n} = \frac{2n + 1}{n} + \frac{2\sqrt{n(n+1)}}{n}$$

$$= 2 + \frac{1}{n} + 2\sqrt{\frac{n(n+1)}{n^2}} = 2 + \frac{1}{n} + 2\sqrt{\frac{n+1}{n}}$$

$$= 2 + \frac{1}{n} + 2\sqrt{1 + \frac{1}{n}}$$

當 $n 	o \infty$ 時：
- $\frac{1}{n} 	o 0$
- $\sqrt{1 + \frac{1}{n}} 	o \sqrt{1 + 0} = 1$

因此：
$$\lim_{n 	o \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = 2 + 0 + 2 \cdot 1 = 4$$

答案：$4$

Question 2

Define the function $F(x) = f(\ln(2 \sin x))$, $0 < x < \pi$, where $f$ is differentiable on $(-\infty, \infty)$ and $f'(0) = 2$. Find $F'(\pi/6)$.

Accepted Answer

這題要求函數 $F(x) = f(\ln(2 \sin x))$ 在 $x = \pi/6$ 處的導數，其中 $0 < x < \pi$，$f$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上可微分且 $f'(0) = 2$。

使用鏈鎖律求導：

設 $u = \ln(2 \sin x)$，則 $F(x) = f(u)$

由鏈鎖律：
$$F'(x) = f'(u) \cdot \frac{du}{dx}$$

首先計算 $\frac{du}{dx}$：
$$u = \ln(2 \sin x)$$
$$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2 \sin x} \cdot \frac{d}{dx}(2 \sin x) = \frac{1}{2 \sin x} \cdot 2 \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$

因此：
$$F'(x) = f'(\ln(2 \sin x)) \cdot \cot x$$

計算 $F'(\pi/6)$：

當 $x = \pi/6$ 時：
- $\sin(\pi/6) = 1/2$
- $2 \sin(\pi/6) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
- $\ln(2 \sin(\pi/6)) = \ln(1) = 0$
- $\cot(\pi/6) = \frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

代入得：
$$F'(\pi/6) = f'(0) \cdot \cot(\pi/6) = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

因此 $F'(\pi/6) = 2\sqrt{3}$。

Question 3

Find the following integral $$\int e^{x^3} x^2 dx.$$

Accepted Answer

這題要求計算積分 $\int e^{x^3} x^2 dx$。

觀察被積函數的結構，我們有 $e^{x^3}$ 和 $x^2$。注意到 $x^3$ 的導數是 $3x^2$，這提示我們可以使用變數代換法。

**解法：**

設 $u = x^3$，則：
- $du = 3x^2 dx$
- $x^2 dx = \frac{1}{3} du$

將原積分進行變數代換：
$$\int e^{x^3} x^2 dx = \int e^u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du$$

計算積分：
$$\frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C$$

將 $u = x^3$ 代回：
$$\frac{1}{3} e^{x^3} + C$$

**驗證：**
對答案求導數檢驗：
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\right) = \frac{1}{3} \cdot e^{x^3} \cdot 3x^2 = e^{x^3} x^2$$

確實等於原被積函數。

**答案：** $\int e^{x^3} x^2 dx = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$

Question 4

Find all critical points of the function $$f(x,y) = x^3 - 6xy - y^2, -\infty < x < \infty  \quad and  \: -\infty < y < \infty,$$and classify each critical point as a location where a local maximum, local minimum, or saddle point occurs.

Accepted Answer

要找到函數 $f(x,y) = x^3 - 6xy - y^2$ 的所有臨界點並分類，需要計算偏導數並使用二階導數測試。 **步驟一：找臨界點** 計算一階偏導數： $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 6y$$ $$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -6x - 2y$$ 令 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$： $$3x^2 - 6y = 0 \quad \cdots (1)$$ $$-6x - 2y = 0 \quad \cdots (2)$$ 從方程式 (2)：$y = -3x$ 將此代入方程式 (1)： $$3x^2 - 6(-3x) = 0$$ $$3x^2 + 18x = 0$$ $$3x(x + 6) = 0$$ 因此 $x = 0$ 或 $x = -6$。當 $x = 0$ 時，$y = -3(0) = 0$ 當 $x = -6$ 時，$y = -3(-6) = 18$ 臨界點為：$(0, 0)$ 和 $(-6, 18)$ **步驟二：分類臨界點** 計算二階偏導數： $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$$ $$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2$$ $$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -6$$ 使用二階導數測試，計算判別式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$： **在點 $(0, 0)$：** - $f_{xx}(0, 0) = 6(0) = 0$ - $f_{yy}(0, 0) = -2$ - $f_{xy}(0, 0) = -6$ - $D = (0)(-2) - (-6)^2 = 0 - 36 = -36 < 0$ 因為 $D < 0$，所以 $(0, 0)$ 是鞍點。 **在點 $(-6, 18)$：** - $f_{xx}(-6, 18) = 6(-6) = -36$ - $f_{yy}(-6, 18) = -2$ - $f_{xy}(-6, 18) = -6$ - $D = (-36)(-2) - (-6)^2 = 72 - 36 = 36 > 0$ 因為 $D > 0$ 且 $f_{xx}(-6, 18) = -36 < 0$，所以 $(-6, 18)$ 是局部最大值點。 **答案：** - 臨界點：$(0, 0)$ 和 $(-6, 18)$ - $(0, 0)$ 是鞍點 - $(-6, 18)$ 是局部最大值點

Question 5

Find the rational number that is represented by the repeating decimal $2.\overline{21} = 2.21212121...$

Accepted Answer

要找到循環小數 $2.21212121...$ 所代表的有理數。

設 $x = 2.\overline{21} = 2.21212121...$

由於循環節是 $21$，長度為 2，我們將等式兩邊同時乘以 $10^2 = 100$：

$100x = 221.21212121...$

現在我們有：
- $x = 2.21212121...$
- $100x = 221.21212121...$

將第二個等式減去第一個等式：
$100x - x = 221.21212121... - 2.21212121...$

$99x = 219$

解得：
$x = \frac{219}{99}$

化簡這個分數。首先找 $219$ 和 $99$ 的最大公因數：
- $219 = 3 	imes 73$
- $99 = 3^2 	imes 11 = 9 	imes 11$

$\gcd(219, 99) = 3$

因此：
$x = \frac{219}{99} = \frac{219 \div 3}{99 \div 3} = \frac{73}{33}$

驗證：$\frac{73}{33} = \frac{66 + 7}{33} = 2 + \frac{7}{33}$

計算 $\frac{7}{33}$：
$7 \div 33 = 0.212121...$

所以 $\frac{73}{33} = 2 + 0.212121... = 2.212121...$

答案：$\frac{73}{33}$

Question 6

Calculate the area of the region that is completely enclosed by the graphs of the functions $f(x) = x^2$ and $g(x) = 4 - x^2$.

Accepted Answer

首先找出兩函數的交點，解方程式：
$x^2 = 4 - x^2$
$2x^2 = 4$
$x^2 = 2$
$x = \pm\sqrt{2}$

接下來判斷在交點區間內哪個函數在上方。在 $x = 0$ 處：
- $f(0) = 0^2 = 0$
- $g(0) = 4 - 0^2 = 4$

因此在區間 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 內，$g(x) = 4 - x^2$ 在 $f(x) = x^2$ 的上方。

被完全包圍的區域面積為：
$$	ext{面積} = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} [g(x) - f(x)] \, dx$$

$$= \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} [(4 - x^2) - x^2] \, dx$$

$$= \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx$$

由於被積函數 $4 - 2x^2$ 是偶函數，可以利用對稱性：
$$= 2\int_{0}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx$$

計算積分：
$$= 2\left[4x - \frac{2x^3}{3}ight]_{0}^{\sqrt{2}}$$

$$= 2\left[\left(4\sqrt{2} - \frac{2(\sqrt{2})^3}{3}ight) - 0ight]$$

$$= 2\left[4\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{3}ight]$$

$$= 2\left[4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}ight]$$

$$= 2\sqrt{2}\left[4 - \frac{4}{3}ight]$$

$$= 2\sqrt{2} \cdot \frac{12 - 4}{3}$$

$$= 2\sqrt{2} \cdot \frac{8}{3}$$

$$= \frac{16\sqrt{2}}{3}$$

因此，被兩函數圖形完全包圍的區域面積為 $\frac{16\sqrt{2}}{3}$。

Question 7

Evaluate the double integral $$\iint_R 20x^2 e^{-y} dA,$$ where $R = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 2\}$.

Accepted Answer

此題要計算二重積分 $\iint_R 20x^2 e^{-y} dA$，其中積分區域 $R = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 2\}$。

由於積分區域 $R$ 是矩形區域，且被積函數 $20x^2 e^{-y}$ 可以分離變數為 $20x^2 \cdot e^{-y}$，因此可以將二重積分分解為兩個單變數積分的乘積：

$$\iint_R 20x^2 e^{-y} dA = \int_0^3 \int_0^2 20x^2 e^{-y} dy dx = \int_0^3 20x^2 dx \cdot \int_0^2 e^{-y} dy$$

先計算 $\int_0^2 e^{-y} dy$：
$$\int_0^2 e^{-y} dy = [-e^{-y}]_0^2 = -e^{-2} - (-e^0) = -e^{-2} + 1 = 1 - e^{-2}$$

再計算 $\int_0^3 20x^2 dx$：
$$\int_0^3 20x^2 dx = 20 \int_0^3 x^2 dx = 20 \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 20 \cdot \frac{27}{3} = 20 \cdot 9 = 180$$

因此，原二重積分的值為：
$$\iint_R 20x^2 e^{-y} dA = 180 \cdot (1 - e^{-2}) = 180(1 - e^{-2})$$

答案：$180(1 - e^{-2})$

Question 8

Find the domain of the following function: $$f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x-1)}.$$

Accepted Answer

要找到函數 $f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x-1)}$ 的定義域，需要確保分子和分母都有意義，且分母不為零。 **分析各部分的限制條件：** 1) **分子 $\sqrt{4-x^2}$ 的限制：** - 根號內必須非負：$4-x^2 \geq 0$ - 即 $x^2 \leq 4$ - 解得：$-2 \leq x \leq 2$ 2) **分母 $\ln(x-1)$ 的限制：** - 對數的真數必須為正：$x-1 > 0$ - 解得：$x > 1$ - 另外，分母不能為零：$\ln(x-1) eq 0$ - 即 $x-1 eq 1$，所以 $x eq 2$ **求交集：** 將所有限制條件合併： - 從分子：$-2 \leq x \leq 2$ - 從分母：$x > 1$ 且 $x eq 2$ 取交集得到：$1 < x \leq 2$ 且 $x eq 2$ 因此：$1 < x < 2$ **驗證邊界點：** - 當 $x = 1$ 時，$\ln(1-1) = \ln(0)$ 未定義 - 當 $x = 2$ 時，$\ln(2-1) = \ln(1) = 0$，分母為零 - 當 $x$ 接近 1 從右側時，$\ln(x-1) o -\infty$ - 當 $x$ 接近 2 從左側時，$\ln(x-1) o 0^-$ 因此，函數 $f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x-1)}$ 的定義域為 $(1, 2)$。

Question 9

Find the Taylor series of the function $$f(x) = \frac{x}{3 + 2x}$$ and determine its radius of convergence.

Accepted Answer

要找到函數 $f(x) = \frac{x}{3 + 2x}$ 的泰勒級數並求收斂半徑。

**步驟一：重寫函數形式**

將函數改寫為便於展開的形式：
$$f(x) = \frac{x}{3 + 2x} = \frac{x}{3(1 + \frac{2x}{3})} = \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2x}{3}}$$

**步驟二：使用幾何級數展開**

利用幾何級數公式 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$（當 $|u| < 1$ 時），
將 $u = -\frac{2x}{3}$ 代入：

$$\frac{1}{1 + \frac{2x}{3}} = \frac{1}{1 - (-\frac{2x}{3})} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{2x}{3}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^n}{3^n}$$

**步驟三：求得泰勒級數**

將結果乘以 $\frac{x}{3}$：

$$f(x) = \frac{x}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^n}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x \cdot (2x)^n}{3^{n+1}}$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n x^{n+1}}{3^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{3^{n+1}} x^{n+1}$$

重新索引，令 $m = n+1$，則 $n = m-1$：

$$f(x) = \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{m-1} \frac{2^{m-1}}{3^m} x^m$$

**步驟四：確定收斂半徑**

幾何級數 $\frac{1}{1 + \frac{2x}{3}}$ 的收斂條件為：
$$\left|-\frac{2x}{3}\right| < 1$$

$$\frac{2|x|}{3} < 1$$

$$|x| < \frac{3}{2}$$

因此收斂半徑為 $R = \frac{3}{2}$。

**最終答案：**

泰勒級數：$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2^{n-1}}{3^n} x^n$$

收斂半徑：$R = \frac{3}{2}$

Question 10

Use the separation of variables to solve the following differential equation: $$\frac{dQ}{dt} = 2(100 - Q), \quad t \geq 0,$$ with the initial condition $Q(0) = 3$.

Accepted Answer

這是一個可分離變數的一階線性微分方程。我們使用分離變數法求解。

**步驟1：分離變數**

原方程：$\frac{dQ}{dt} = 2(100 - Q)$

將變數分離：
$$\frac{dQ}{100 - Q} = 2dt$$

**步驟2：兩邊積分**

左邊積分：
$$\int \frac{dQ}{100 - Q} = -\ln|100 - Q| + C_1$$

右邊積分：
$$\int 2dt = 2t + C_2$$

因此：
$$-\ln|100 - Q| = 2t + C$$

其中 $C = C_2 - C_1$ 為積分常數。

**步驟3：解出 Q(t)**

$$\ln|100 - Q| = -2t - C$$

$$|100 - Q| = e^{-2t - C} = e^{-C} \cdot e^{-2t}$$

設 $A = e^{-C}$，則：
$$100 - Q = \pm A e^{-2t}$$

由於當 $t = 0$ 時 $Q(0) = 3 < 100$，所以 $100 - Q > 0$，因此取正號：
$$100 - Q = A e^{-2t}$$

$$Q(t) = 100 - A e^{-2t}$$

**步驟4：利用初始條件求常數 A**

由 $Q(0) = 3$：
$$3 = 100 - A e^{0} = 100 - A$$

$$A = 100 - 3 = 97$$

**最終解答：**
$$Q(t) = 100 - 97e^{-2t}$$

**驗證：**
- 初始條件：$Q(0) = 100 - 97e^{0} = 100 - 97 = 3$ ✓
- 微分方程：$\frac{dQ}{dt} = 97 \cdot 2e^{-2t} = 194e^{-2t}$，而 $2(100 - Q) = 2(100 - (100 - 97e^{-2t})) = 2 \cdot 97e^{-2t} = 194e^{-2t}$ ✓

Question 11

To create an open box from a square piece of cardboard, we can cut out identical squares from each corner and then fold up the resulting flaps. If the cardboard measures 10 inches on each side, determine the dimensions of the box that will yield the maximum volume. 
Note: Points will be awarded only if calculus is used in the solution.

Accepted Answer

設從每個角落切掉的正方形邊長為 $x$ 英吋，其中 $0 < x < 5$（因為要能摺成盒子）。

**建立體積函數：**
- 盒子底面邊長：$10 - 2x$
- 盒子高度：$x$
- 體積函數：$V(x) = x(10-2x)^2 = x(100 - 40x + 4x^2) = 4x^3 - 40x^2 + 100x$

**求最大值：**
對 $V(x)$ 求導：
$$V'(x) = 12x^2 - 80x + 100$$

令 $V'(x) = 0$：
$$12x^2 - 80x + 100 = 0$$
$$3x^2 - 20x + 25 = 0$$

使用二次公式：
$$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 300}}{6} = \frac{20 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{20 \pm 10}{6}$$

得到 $x = 5$ 或 $x = \frac{5}{3}$

由於 $x < 5$，所以 $x = \frac{5}{3}$

**驗證為最大值：**
計算二階導數：$V''(x) = 24x - 80$

在 $x = \frac{5}{3}$ 處：$V''\left(\frac{5}{3}ight) = 24 \cdot \frac{5}{3} - 80 = 40 - 80 = -40 < 0$

因為二階導數為負，所以 $x = \frac{5}{3}$ 為最大值點。

**盒子尺寸：**
- 切掉的正方形邊長：$x = \frac{5}{3}$ 英吋
- 盒子底面邊長：$10 - 2 \cdot \frac{5}{3} = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$ 英吋
- 盒子高度：$\frac{5}{3}$ 英吋

因此，能產生最大體積的盒子尺寸為：底面 $\frac{20}{3} 	imes \frac{20}{3}$ 英吋，高度 $\frac{5}{3}$ 英吋。

台灣聯合大學系統 114 年度微積分 A2

這份試題整理

微積分 A2 其他年度考古題

$一、填充題$

$二、計算、證明題$

台灣聯合大學系統 114 年度 微積分 A2

這份試題整理

微積分 A2 其他年度考古題

一、填充題

二、計算、證明題

台灣聯合大學系統 114 年度微積分 A2

$一、填充題$

$二、計算、證明題$