台灣大學 106 年微積分(C) 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

$\lim\limits_{x 	o \infty}(x - \sqrt{x^2 + 2x}) = ?$

Accepted Answer

把根號項有理化：
$$x-\sqrt{x^2+2x}=\frac{(x-\sqrt{x^2+2x})(x+\sqrt{x^2+2x})}{x+\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x^2-(x^2+2x)}{x+\sqrt{x^2+2x}}=\frac{-2x}{x+\sqrt{x^2+2x}}.$$
再把分子分母同除以 $x$：
$$\frac{-2x}{x+\sqrt{x^2+2x}}=\frac{-2}{1+\sqrt{1+2/x}}.$$
當 $x	o\infty$ 時，$2/x	o 0$，所以
$$\lim_{x	o\infty}(x-\sqrt{x^2+2x})=\frac{-2}{1+1}=-1.$$

答案：$-1$。

Question 2

Find $\frac{d}{dx} 2^{(x^2)} =?$

Accepted Answer

若
$$y=2^{x^2},$$
利用公式
$$\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x)$$
可得
$$\frac{dy}{dx}=2^{x^2}\ln 2\cdot \frac{d}{dx}(x^2)=2^{x^2}\ln 2\cdot 2x.$$
因此
$$\frac{d}{dx}2^{x^2}=2x(\ln 2)2^{x^2}.$$

答案：$2x(\ln 2)2^{x^2}$。

Question 3

It is known that $2x^3 + y^3 = 5xy$. Determine the value of $dy/dx$ when $(x,y) = (1,2)$.

Accepted Answer

對方程
$$2x^3+y^3=5xy$$
兩邊對 $x$ 微分：
$$6x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=5\left(y+x\frac{dy}{dx}\right).$$
整理含 $dy/dx$ 的項：
$$3y^2\frac{dy}{dx}-5x\frac{dy}{dx}=5y-6x^2,$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{5y-6x^2}{3y^2-5x}.$$
代入 $(x,y)=(1,2)$：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{10-6}{12-5}=\frac47.$$

答案：$\dfrac47$。

Question 4

Find the arc length determined by the curve $y = \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{x}$ over $1 \leq x \leq 2$.

Accepted Answer

弧長公式為
$$L=\int_1^2\sqrt{1+(y')^2}\,dx.$$
先求導數：
$$y=\frac1{12}x^3+\frac1x \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac14x^2-\frac1{x^2}.$$
因此
$$1+(y')^2=1+\left(\frac14x^2-\frac1{x^2}\right)^2.$$
展開後得到
$$\left(\frac14x^2-\frac1{x^2}\right)^2=\frac1{16}x^4-\frac12+\frac1{x^4},$$
所以
$$1+(y')^2=\frac1{16}x^4+\frac12+\frac1{x^4}=\left(\frac14x^2+\frac1{x^2}\right)^2.$$
在 $1\le x\le 2$ 上該式為正，因此
$$\sqrt{1+(y')^2}=\frac14x^2+\frac1{x^2}.$$
故弧長
$$L=\int_1^2\left(\frac14x^2+\frac1{x^2}\right)dx=\left[\frac{x^3}{12}-\frac1x\right]_1^2.$$
計算得
$$L=\left(\frac{8}{12}-\frac12\right)-\left(\frac1{12}-1\right)=\frac16+\frac{11}{12}=\frac{13}{12}.$$

答案：$\dfrac{13}{12}$。

Question 5

$\int_0^\pi (\cos^2 x + \sec^2 x) dx = ?$

Accepted Answer

這是廣義積分，因為 $\sec^2 x$ 在 $x=\pi/2$ 發散。

先看第一項：
$$\int_0^\pi \cos^2 x\,dx=\frac\pi2.$$
但第二項
$$\int_0^\pi \sec^2 x\,dx$$
必須拆成
$$\int_0^{\pi/2}\sec^2 x\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}\sec^2 x\,dx.$$
而
$$\int \sec^2 x\,dx=	an x,$$
在 $x	o\pi/2$ 時發散，因此此廣義積分不收斂，整個積分也不收斂。

答案：發散（diverges）。

Question 6

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots = ?$

Accepted Answer

這是著名的 Gregory-Leibniz 級數：
$$1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\arctan(1).$$
因為
$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \qquad (|x|\le 1).$$
代入 $x=1$ 得
$$1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\arctan 1=\frac\pi4.$$

答案：$\dfrac\pi4$。

Question 7

$\int_0^1 \left[ \int_y^1 \sin x^2 dx \right] dy = ?$

Accepted Answer

原式為
$$\int_0^1\left[\int_y^1 \sin x^2\,dx\right]dy.$$
積分區域是
$$0\le y\le 1,\qquad y\le x\le 1.$$
改變積分次序後，對固定的 $x$ 而言，$y$ 從 $0$ 到 $x$，而 $x$ 從 $0$ 到 $1$。
所以原積分等於
$$\int_0^1\int_0^x \sin x^2\,dy\,dx.$$
內積分對 $y$ 計算：
$$\int_0^x \sin x^2\,dy=x\sin x^2.$$
因此只剩
$$\int_0^1 x\sin x^2\,dx.$$
令 $u=x^2$，則 $du=2x\,dx$，故
$$\int_0^1 x\sin x^2\,dx=\frac12\int_0^1 \sin u\,du=\frac12[-\cos u]_0^1=\frac{1-\cos 1}{2}.$$

答案：$\dfrac{1-\cos 1}{2}$。

Question 8

When $2x^2 - 4xy + 5y^2 = 1$, $f(x,y) = x^2 + y^2$, determine the maximum value and minimum value of $f(x,y)$.

Accepted Answer

要求在限制條件
$$2x^2-4xy+5y^2=1$$
下，函數
$$f(x,y)=x^2+y^2$$
的最大值與最小值。

把限制條件看成二次型
$$\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2&-2\-2&5\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=1.$$
記
$$A=\begin{pmatrix}2&-2\-2&5\end{pmatrix}.$$
這時 $f(x,y)=x^2+y^2$ 的極值對應到矩陣 $A$ 的特徵值。因為在 $\mathbf x^TA\mathbf x=1$ 下，$\mathbf x^T\mathbf x$ 的極值為 $1/\lambda$。

求 $A$ 的特徵值：
$$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda&-2\-2&5-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(5-\lambda)-4=\lambda^2-7\lambda+6.$$
解得
$$\lambda=1,\ 6.$$
因此
$$f_{\max}=\frac1{1}=1,\qquad f_{\min}=\frac1{6}=\frac16.$$

答案：最大值 $1$，最小值 $\dfrac16$。

Question 9

$\int_{-\infty}^\infty \exp(-2x^2) dx = ?$

Accepted Answer

利用高斯積分公式
$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\frac\pi a}\qquad (a>0).$$
這裡 $a=2$，所以
$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2x^2}\,dx=\sqrt{\frac\pi2}.$$

若從基本公式 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ 出發，也可令 $u=\sqrt2\,x$，則 $dx=du/\sqrt2$：
$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2x^2}\,dx=\frac1{\sqrt2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\,du=\sqrt{\frac\pi2}.$$

答案：$\sqrt{\dfrac\pi2}$。

Question 10

$y = f(x)$ satisfies $\frac{dy}{dx} = 2 \frac{y}{x}$. When $x = 1, y = 2$, what is $f(x)$?

Accepted Answer

微分方程
$$\frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}$$
是可分離的。把變數分開：
$$\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x}.$$
兩邊積分：
$$\ln|y|=2\ln|x|+C.$$
指數化後可寫成
$$y=Cx^2.$$
再利用條件 $x=1,\ y=2$：
$$2=C\cdot 1^2,$$
所以 $C=2$。故
$$f(x)=2x^2.$$

答案：$2x^2$。

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