台灣大學 108 年微積分(C) 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

Lemniscate $(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2$ At the point $(x,y) = (\sqrt{6}/4, \sqrt{2}/4)$ $dy/dx = ?$

Accepted Answer

對方程
$$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$$
做隱函數微分。
左邊利用鏈鎖律：
$$\frac{d}{dx}(x^2+y^2)^2=2(x^2+y^2)(2x+2yy').$$
右邊微分為
$$\frac{d}{dx}(x^2-y^2)=2x-2yy'.$$
因此
$$2(x^2+y^2)(2x+2yy')=2x-2yy'.$$
化簡成
$$4(x^2+y^2)(x+yy')=2x-2yy'.$$
現在代入題目給的點
$$x=\frac{\sqrt6}{4},\qquad y=\frac{\sqrt2}{4}.$$
先算
$$x^2+y^2=\frac{6}{16}+\frac{2}{16}=\frac12.$$
故方程變成
$$4\cdot \frac12(x+yy')=2x-2yy',$$
即
$$2x+2yy'=2x-2yy'.$$
移項得到
$$4yy'=0.$$
因為 $y=\frac{\sqrt2}{4}
e 0$，所以
$$y'=0.$$

答案：$0$。

Question 2

If $x^3 + y^3 = 3xy$, then $x + y \leq \max = ?$

Accepted Answer

設
$$s=x+y,\qquad p=xy.$$
利用恆等式
$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=s^3-3ps.$$
題目條件 $x^3+y^3=3xy$ 可改寫為
$$s^3-3ps=3p.$$
整理得
$$s^3=3p(s+1),\qquad p=\frac{s^3}{3(s+1)}\quad (s
e -1).$$

另一方面，若 $x,y$ 為實數，則二次方程 $t^2-st+p=0$ 的判別式必須非負：
$$s^2-4p\ge 0.$$
代入上式的 $p$：
$$s^2-\frac{4s^3}{3(s+1)}\ge 0.$$
提取 $s^2$：
$$s^2\left(1-\frac{4s}{3(s+1)}ight)\ge 0.$$
因為 $s^2\ge 0$，所以只需
$$1-\frac{4s}{3(s+1)}\ge 0.$$
化簡得
$$\frac{3(s+1)-4s}{3(s+1)}=\frac{3-s}{3(s+1)}\ge 0.$$
在追求最大值時，只需關心正的 $s$，因此必有
$$s\le 3.$$
所以
$$x+y\le 3.$$
當 $s=3$ 時判別式等於 0，表示 $x=y$。由 $x+y=3$ 得
$$x=y=\frac32,$$
代回原式可驗證成立。

因此最大值為
$$\max(x+y)=3.$$

答案：$3$。

Question 3

The probability density function of an exponential distribution is $f(x) = 3e^{-3x}$ if $x \geq 0$, $f(x) = 0$ if $x < 0$. Find the expected value $E(x) = ?$

Accepted Answer

若隨機變數 $X$ 的密度函數為
$$f(x)=3e^{-3x},\qquad x\ge 0,$$
則它是參數 $\lambda=3$ 的指數分配。
指數分配的期望值公式為
$$E(X)=\frac1\lambda,$$
所以
$$E(X)=\frac13.$$

若直接積分驗證：
$$E(X)=\int_0^{\infty}x\cdot 3e^{-3x}\,dx=\frac13.$$

答案：$\dfrac13$。

Question 4

$f(x) = (\sin x)^{\cos x}$ $f'(x) = ?$

Accepted Answer

設
$$y=(\sin x)^{\cos x}.$$
這種冪次與底數都含 $x$ 的函數，最適合用對數微分。

先取自然對數：
$$\ln y=\cos x\ln(\sin x).$$
兩邊對 $x$ 微分：
$$\frac{y'}{y}=(-\sin x)\ln(\sin x)+\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}.$$
因此
$$\frac{y'}{y}=-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}.$$
乘回 $y=(\sin x)^{\cos x}$，得
$$y'=(\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}\right).$$

答案：$$(\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2 x}{\sin x}-\sin x\ln(\sin x)\right).$$

Question 5

$f(x) = 1/(x^2 - x - 2) =$ Taylor series $= \sum a_n x^n$, $a_n = ?$

Accepted Answer

先做部分分式分解：
$$\frac1{x^2-x-2}=\frac1{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.$$
由
$$1=A(x+1)+B(x-2)$$
比較係數得
$$A+B=0,\qquad A-2B=1.$$
解得
$$A=\frac13,\qquad B=-\frac13.$$
所以
$$\frac1{x^2-x-2}=\frac13\frac1{x-2}-\frac13\frac1{x+1}.$$

接著在 $x=0$ 附近展開成冪級數：
$$\frac1{x-2}=-\frac12\cdot\frac1{1-x/2}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^{n+1}},$$
$$\frac1{x+1}=\frac1{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n.$$
因此
$$\frac1{x^2-x-2}=\frac13\left(-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^{n+1}}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,$$
其中
$$a_n=-\frac13\left(\frac1{2^{n+1}}+(-1)^n\right).$$

答案：$$a_n=-\frac13\left(\frac1{2^{n+1}}+(-1)^n\right).$$

Question 6

A $=(-1,0)$, B $=(0,1)$, C $=(2,2)$. Use the method of least squares to find a line $y = mx+b$ that best fits A, B, C. $m = ?$, $b = ?$.

Accepted Answer

用最小平方法擬合直線 $y=mx+b$。三個點是
$$(-1,0),\ (0,1),\ (2,2).$$

先算平均數：
$$\bar x=\frac{-1+0+2}{3}=\frac13,\qquad \bar y=\frac{0+1+2}{3}=1.$$
斜率公式為
$$m=\frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2}.$$
分子：
$$\left(-1-\frac13\right)(0-1)+\left(0-\frac13\right)(1-1)+\left(2-\frac13\right)(2-1)$$
$$=\left(-\frac43\right)(-1)+0+\left(\frac53\right)(1)=3.$$
分母：
$$\left(-\frac43\right)^2+\left(-\frac13\right)^2+\left(\frac53\right)^2=\frac{42}{9}=\frac{14}{3}.$$
因此
$$m=\frac{3}{14/3}=\frac9{14}.$$
再由
$$b=\bar y-m\bar x$$
得
$$b=1-\frac9{14}\cdot\frac13=\frac{11}{14}.$$

答案：$$m=\frac9{14},\qquad b=\frac{11}{14}.$$

Question 7

$\lim\limits_{x 	o 0} (\sin x)^{(\cos x - 1)} = ?$

Accepted Answer

考察
$$\lim_{x	o 0}(\sin x)^{\cos x-1}.$$
在實數範圍內，通常從 $x	o0^+$ 理解，因為這樣 $\sin x>0$ 才能取對數。令
$$L=(\sin x)^{\cos x-1}.$$
取對數：
$$\ln L=(\cos x-1)\ln(\sin x).$$
當 $x	o0$ 時，
$$\cos x-1\sim-\frac{x^2}{2},$$
而
$$\ln(\sin x)=\ln x+\ln\left(\frac{\sin x}{x}ight).$$
其中 $\ln(\sin x/x)	o0$，且 $x^2\ln x	o0$，因此
$$(\cos x-1)\ln(\sin x)	o0.$$
也就是
$$\ln L	o0,$$
故
$$L	o e^0=1.$$

答案：$1$。

Question 8

Find the area of the surface $z = xy$, $x^2 + y^2 \leq 1$.

Accepted Answer

曲面 $z=xy$ 在區域 $x^2+y^2\le1$ 上的面積公式為
$$A=\iint_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dA.$$
這裡
$$z_x=y,\qquad z_y=x,$$
所以
$$A=\iint_D\sqrt{1+x^2+y^2}\,dA.$$
因為區域 $D$ 是單位圓盤，改用極座標：
$$x=r\cos	heta,\qquad y=r\sin	heta,\qquad dA=r\,dr\,d	heta.$$
因此
$$A=\int_0^{2\pi}\int_0^1\sqrt{1+r^2}\,r\,dr\,d	heta.$$
先算內積分，令 $u=1+r^2$，則 $du=2r\,dr$：
$$\int_0^1\sqrt{1+r^2}\,r\,dr=\frac12\int_1^2u^{1/2}\,du=\frac13(2\sqrt2-1).$$
再乘上外積分的 $2\pi$：
$$A=2\pi\cdot\frac13(2\sqrt2-1)=\frac{2\pi}{3}(2\sqrt2-1).$$

答案：$\dfrac{2\pi}{3}(2\sqrt2-1)$。

Question 9

$y = f(x)$, $y' = 2y(10 - y)$, $f(0)=1$, $f(x) = ?$

Accepted Answer

微分方程
$$y'=2y(10-y)$$
是 logistic 型，也可直接分離變數。

先分離：
$$\frac{dy}{y(10-y)}=2\,dx.$$
做部分分式：
$$\frac1{y(10-y)}=\frac1{10}\left(\frac1y+\frac1{10-y}\right).$$
所以
$$\frac1{10}\left(\frac1y+\frac1{10-y}\right)dy=2dx.$$
兩邊積分：
$$\frac1{10}(\ln|y|-\ln|10-y|)=2x+C.$$
乘以 10 得
$$\ln\left|\frac{y}{10-y}\right|=20x+C_1.$$
指數化後
$$\frac{y}{10-y}=Ce^{20x}.$$
解出 $y$：
$$y=\frac{10Ce^{20x}}{1+Ce^{20x}}=\frac{10}{1+Ae^{-20x}}.$$
利用初始條件 $f(0)=1$：
$$1=\frac{10}{1+A}\Rightarrow A=9.$$
因此
$$f(x)=\frac{10}{1+9e^{-20x}}.$$

答案：$\dfrac{10}{1+9e^{-20x}}$。

Question 10

Polar coordinate $x = r \cos 	heta$, $y = r \sin 	heta$. Cardioid $r = 1 - \sin 	heta$. At the point $(x,y)=(1,0)$ $d^2y/dx^2=?$

Accepted Answer

用參數式處理極座標曲線。已知
$$r=1-\sin	heta,$$
所以
$$x(	heta)=r\cos	heta=(1-\sin	heta)\cos	heta,$$
$$y(	heta)=r\sin	heta=(1-\sin	heta)\sin	heta.$$
點 $(1,0)$ 對應到 $	heta=0$。

先求一階導數：
$$\frac{dx}{d	heta}=-(1-\sin	heta)\sin	heta-\cos^2	heta,$$
$$\frac{dy}{d	heta}=\cos	heta\sin	heta+(1-\sin	heta)\cos	heta.$$ 
代入 $	heta=0$：
$$\frac{dx}{d	heta}(0)=-1,\qquad \frac{dy}{d	heta}(0)=1.$$
所以
$$\frac{dy}{dx}\Big|_{	heta=0}=\frac{1}{-1}=-1.$$

再用參數曲線二階導數公式
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{d	heta}(dy/dx)}{dx/d	heta}.$$
把 $dy/dx=(dy/d	heta)/(dx/d	heta)$ 再對 $	heta$ 微分，可算得在 $	heta=0$ 時
$$\frac{d}{d	heta}\left(\frac{dy}{dx}ight)=3.$$
因此
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{-1}=-3.$$

答案：$-3$。

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