臺灣綜合大學系統 105 年微積分A 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

$\lim\limits_{x 	o 0} \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 - \cos x} = $ ____1(a)____; $\lim\limits_{x 	o 0^+} (e^x + x)^{\frac{1}{x}} = $ ____1(b)____

Accepted Answer

**1(a) 分析思路：**
這是一個 $0/0$ 型不定式。我們可以使用泰勒展開或羅必達法則。

**解題步驟：**
1. 使用泰勒展開：當 $x 	o 0$ 時，$\sin x \approx x, \cos x \approx 1 - x^2/2$
2. 分子：$x^2 + (x + O(x^3))^2 = 2x^2 + O(x^4)$
3. 分母：$1 - (1 - x^2/2 + O(x^4)) = x^2/2 + O(x^4)$
4. 極限值：$$\lim_{x 	o 0} \frac{2x^2}{x^2/2} = 4$$

**答案:** 4

---

**1(b) 分析思路：**
這是一個 $1^\infty$ 型不定式，需取自然對數轉化為 $0/0$ 型後使用羅必達法則。

**解題步驟：**
1. 令 $L = \lim_{x 	o 0^+} (e^x + x)^{1/x}$，取對數：$$\ln L = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\ln(e^x + x)}{x}$$
2. 使用羅必達法則（分子分母同時對 $x$ 微分）：
   $$\ln L = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\frac{e^x + 1}{e^x + x}}{1} = \frac{1 + 1}{1 + 0} = 2$$
3. 還原極限：$L = e^2$。

**答案:** $e^2$

Question 2

Let $x^2 + xy + 2y^2 = 1$. Find $\frac{dy}{dx} = $ ____2(a)____ and $\frac{d^2y}{dx^2} = $ ____2(b)____ at $(x,y) = (1,0)$.

Accepted Answer

**2(a) 分析思路：**
使用隱函數微分法（Implicit Differentiation）。

**解題步驟：**
1. 對方程式兩邊求導：$2x + (y + xy') + 4yy' = 0$
2. 代入點 $(1, 0)$：$2(1) + (0 + 1y') + 4(0)y' = 0$
3. 整理得：$2 + y' = 0 \implies y' = -2$。

**答案:** -2

---

**2(b) 分析思路：**
將一階微分後的等式再次求導。

**解題步驟：**
1. 原微分式：$2x + y + (x + 4y)y' = 0$
2. 再次求導：$2 + y' + (1 + 4y')y' + (x + 4y)y'' = 0$
3. 代入 $(1, 0)$ 與 $y' = -2$：
   $2 + (-2) + (1 + 4(-2))(-2) + (1 + 0)y'' = 0$
   $0 + (-7)(-2) + y'' = 0 \implies 14 + y'' = 0 \implies y'' = -14$。

**答案:** -14

Question 3

Find the interval = ____3(a)____ of convergence of the power series $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$, and its sum = ____3(b)____

Accepted Answer

**3(a) 分析思路：**
使用比值判別法（Ratio Test）求收斂半徑，並檢查端點。

**解題步驟：**
1. 收斂半徑：$$L = \lim_{n 	o \infty} \left| \frac{x^{2n+3}/(2n+3)}{x^{2n+1}/(2n+1)} ight| = |x|^2 < 1 \implies R = 1$$
2. 端點檢查：
   - 當 $x = 1$，級數為 $\sum \frac{(-1)^n}{2n+1}$，交錯級數收斂。
   - 當 $x = -1$，級數為 $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$，同樣收斂。
3. 收斂區間為 $[-1, 1]$。

**答案:** $[-1, 1]$

---

**3(b) 分析思路：**
觀察級數的一般項，這是 $\arctan x$ 的馬克勞林級數展開。

**解題步驟：**
1. 令 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
2. 逐項求導：$S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots = \frac{1}{1+x^2}$
3. 積分還原：$S(x) = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$
4. 代入 $x=0$ 得 $S(0) = 0 \implies C = 0$。

**答案:** $\arctan x$

Question 4

The graph of the equation $y = \frac{x}{(x+3)^2}$ is strictly increasing on the interval = ____4(a)____ and concave upward on the interval = ____4(b)____.

Accepted Answer

**4(a) 分析思路：** 找出 $y' > 0$ 的區間。 **解題步驟：** 1. 計算一階導數：$$y' = \frac{1(x+3)^2 - x(2(x+3))}{(x+3)^4} = \frac{(x+3) - 2x}{(x+3)^3} = \frac{3-x}{(x+3)^3}$$ 2. 判斷正負： - 當 $-3 < x < 3$ 時，$y' > 0$ (遞增)。 **答案:** $(-3, 3)$ --- **4(b) 分析思路：** 找出 $y'' > 0$ 的區間。 **解題步驟：** 1. 計算二階導數： $$y'' = \frac{-1(x+3)^3 - (3-x)(3(x+3)^2)}{(x+3)^6} = \frac{-(x+3) - 3(3-x)}{(x+3)^4} = \frac{2x-12}{(x+3)^4}$$ 2. 判斷正負：$2x-12 > 0 \implies x > 6$。 **答案:** $(6, \infty)$

Question 5

Evaluate $\displaystyle\int_0^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx$ from the known integral $\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Accepted Answer

**分析思路：**
使用分部積分法（Integration by Parts），將 $x^2 e^{-x^2}$ 拆分為 $x \cdot (xe^{-x^2})$。

**解題步驟：**
1. 設定：$u = x, dv = x e^{-x^2} dx$
2. 求微分項：$du = dx, v = -\frac{1}{2} e^{-x^2}$
3. 套用公式：$$\int_0^\infty x^2 e^{-x^2} dx = [-\frac{x}{2} e^{-x^2}]_0^\infty + \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-x^2} dx$$
4. 計算極限與代入：
   - 端點值：$(0 - 0) = 0$
   - 第二項：$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$

**答案:** $\frac{\sqrt{\pi}}{4}$

Question 6

Show that $F(x) = \displaystyle\frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a}\right)$, $a > 0$ is an anti-derivative for $f(x) = \sqrt{a^2 - x^2}$.

Accepted Answer

**分析思路：**
證明 $F'(x) = f(x)$。

**解題步驟：**
1. 對 $F(x)$ 的第一項求導：$$\frac{1}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{x}{2} \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2-x^2-x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$$
2. 對 $F(x)$ 的第二項求導：$$\frac{a^2}{2} \frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$$
3. 相加：$$\frac{a^2-2x^2 + a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sqrt{a^2-x^2} = f(x)$$
4. 結論：恆等式成立。

**答案:** (證明如上)

Question 7

Let $z = \ln \left(\frac{1+x}{1+y}ight)$ where $x = \cos t$, $y = 	an t$. Use the chain rule to find the value of $\frac{dz}{dt}$ when $t = 0$.

Accepted Answer

**分析思路：**
使用多變數連鎖律 $\frac{dz}{dt} = z_x x_t + z_y y_t$。

**解題步驟：**
1. 計算偏導與導數：
   - $z = \ln(1+x) - \ln(1+y) \implies z_x = \frac{1}{1+x}, z_y = -\frac{1}{1+y}$
   - $x = \cos t \implies x' = -\sin t$
   - $y = 	an t \implies y' = \sec^2 t$
2. 當 $t = 0$ 時：
   - $x = \cos 0 = 1, y = 	an 0 = 0$
   - $x' = -\sin 0 = 0, y' = \sec^2 0 = 1$
   - $z_x = 1/2, z_y = -1$
3. 代入連鎖律：$$\frac{dz}{dt} = (1/2)(0) + (-1)(1) = -1$$

**答案:** -1

Question 8

An observer at $(3,6)$ is watching an object descend the graph $y^2 = x$. At what point of it's path is the object closest to the observer.

Accepted Answer

**分析思路：**
尋找距離平方函數的極小值點。

**解題步驟：**
1. 設曲線上點為 $(y^2, y)$。距離平方函數為：
   $D(y) = (y^2 - 3)^2 + (y - 6)^2 = y^4 - 6y^2 + 9 + y^2 - 12y + 36 = y^4 - 5y^2 - 12y + 45$
2. 求導：$D'(y) = 4y^3 - 10y - 12 = 0 \implies 2y^3 - 5y - 6 = 0$
3. 尋找實根：代入 $y = 2$ 得 $2(8) - 5(2) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0$。
4. 驗證性質：$D''(y) = 12y^2 - 10$。當 $y=2$ 時，$D''(2) = 38 > 0$，確為極小值點。
5. 求座標：$x = y^2 = 2^2 = 4$。

**答案:** (4, 2)

Question 9

Find the area of surface $\displaystyle\iint\limits_S z^2 ds$ over the hemisphere $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$.

Accepted Answer

**分析思路：**
在單位球面上使用球面座標參數化，或使用投影法積分。

**解題步驟：**
1. 參數化單位球面（上半部）：$x = \sin\phi \cos	heta, y = \sin\phi \sin	heta, z = \cos\phi$
2. 面積元素：$dS = \sin\phi d\phi d	heta$。範圍：$0 \le \phi \le \pi/2, 0 \le 	heta \le 2\pi$。
3. 建立積分：$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} (\cos^2\phi) \sin\phi d\phi d	heta$$
4. 計算內層：令 $u = \cos\phi, du = -\sin\phi d\phi \implies \int_0^1 u^2 du = 1/3$
5. 計算外層：$2\pi \cdot (1/3) = 2\pi/3$

**答案:** $2\pi/3$

Question 10

Find the volume of the solid bounded above by the cone $z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}$ and below by the disk $R: x^2 + (y-1)^2 \leq 1$.

Accepted Answer

**分析思路：**
使用雙重積分 $V = \iint_R (z_{top} - z_{bottom}) dA$ 並轉換至極座標。

**解題步驟：**
1. 被積函數：$2 - \sqrt{x^2+y^2} = 2 - r$。
2. 區域 $R$ 的極座標表示：$x^2 + y^2 - 2y \le 0 \implies r^2 - 2r\sin	heta \le 0 \implies r \le 2\sin	heta$。
3. 範圍：$0 \le 	heta \le \pi$ (圓盤在上半平面)，$0 \le r \le 2\sin	heta$。
4. 建立積分：$$\int_0^\pi \int_0^{2\sin	heta} (2-r) r dr d	heta = \int_0^\pi [ r^2 - r^3/3 ]_0^{2\sin	heta} d	heta$$
   $$= \int_0^\pi ( 4\sin^2	heta - \frac{8}{3}\sin^3	heta ) d	heta$$
5. 分項計算：
   - $\int_0^\pi 4\sin^2	heta d	heta = 4 (\pi/2) = 2\pi$
   - $\int_0^\pi \frac{8}{3}\sin^3	heta d	heta = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{32}{9}$
6. 最終結果：$2\pi - 32/9$。

**答案:** $2\pi - 32/9$

臺灣綜合大學系統 105 年度微積分A

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