臺灣綜合大學系統 108 年微積分A 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

Find the following limits.

(a) $\lim\limits_{x 	o 3} \frac{x^2 + x - 12}{x - 3}$.

(b) $\lim\limits_{x 	o 0} \frac{x^2}{\sec x - 1}$.

Accepted Answer

**(a) 分析思路：**
這是一個 $0/0$ 型極限，可透過因式分解消去零項。

**解題步驟：**
1. 分子因式分解：$x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$
2. 消去分母項：$$\lim_{x 	o 3} \frac{(x+4)(x-3)}{x-3} = \lim_{x 	o 3} (x+4)$$
3. 代入 $x=3$：$3 + 4 = 7$

**答案:** 7

---

**(b) 分析思路：**
這是一個 $0/0$ 型極限，可使用羅必達法則或泰勒展開式。

**解題步驟：**
1. **方法一：泰勒展開**
   $\sec x = \frac{1}{\cos x} \approx \frac{1}{1 - x^2/2} \approx 1 + x^2/2$
   因此分母 $\sec x - 1 \approx x^2/2$
   極限為 $\lim_{x 	o 0} \frac{x^2}{x^2/2} = 2$
2. **方法二：羅必達法則**
   $\lim_{x 	o 0} \frac{2x}{\sec x 	an x} = \lim_{x 	o 0} \frac{2x}{\frac{1}{\cos x} \frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x 	o 0} \frac{2x \cos^2 x}{\sin x}$
   利用 $\lim_{x 	o 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ 與 $\cos 0 = 1$：
   $2 \cdot 1 \cdot 1^2 = 2$

**答案:** 2

Question 2

Evaluate $\frac{\partial f}{\partial x}|_{(0,0)}$ and $\frac{\partial f}{\partial y}|_{(0,0)}$ for
$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{3x^4 + xy^2}{2x^3 + 4xy + y}, & (x,y) 
eq (0,0) \ 0, & (x,y) = (0,0). \end{cases}$$

Accepted Answer

**分析思路：**
由於函數在原點分段定義，必須使用偏導數的定義式來求解。

**解題步驟：**
1. **計算對 $x$ 的偏導：**
   $$f_x(0,0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h, 0) - f(0,0)}{h}$$
   $f(h, 0) = \frac{3h^4 + 0}{2h^3 + 0 + 0} = \frac{3h^4}{2h^3} = 1.5h$
   $$f_x(0,0) = \lim_{h 	o 0} \frac{1.5h - 0}{h} = 1.5$$
2. **計算對 $y$ 的偏導：**
   $$f_y(0,0) = \lim_{k_y 	o 0} \frac{f(0, k_y) - f(0,0)}{k_y}$$
   $f(0, k_y) = \frac{0 + 0}{0 + 0 + k_y} = 0$
   $$f_y(0,0) = \lim_{k_y 	o 0} \frac{0 - 0}{k_y} = 0$$

**答案:** $\frac{\partial f}{\partial x}|_{(0,0)} = \frac{3}{2}, \frac{\partial f}{\partial y}|_{(0,0)} = 0$

Question 3

Given
$$f(t) = \begin{cases} 1; & t \leq 0 \ 1 - t; & t > 0 \end{cases}$$
and
$$F(x) = \int_{-1}^{2ax+2} f(t) \, dt$$
with $a > 0$, find $a$ so that $F$ is maximum at $x = -2a$.

Accepted Answer

**分析思路：** 極值發生在導數為零處。利用萊布尼茲積分微分法則求 $F'(x)$。 **解題步驟：** 1. **微分 $F(x)$：** $F'(x) = f(2ax+2) \cdot \frac{d}{dx}(2ax+2) = f(2ax+2) \cdot 2a$ 2. **找出極值條件：** 題目給定在 $x = -2a$ 有最大值，故 $F'(-2a) = 0$。 $f(2a(-2a)+2) \cdot 2a = 0 \implies f(-4a^2+2) = 0$ (因為 $a > 0$) 3. **求解變數 $a$：** 觀察 $f(t)$ 的定義，當 $t > 0$ 時，$f(t) = 1 - t$。若要 $f(t) = 0$，則 $t = 1$。 $$-4a^2 + 2 = 1 \implies 4a^2 = 1 \implies a^2 = 1/4$$ 由於題目規定 $a > 0$，故 $a = 1/2$。 4. **驗證最大值：** 當 $x < -2a$ 時，$t < 1$，$f(t) > 0$，故 $F'(x) > 0$（遞增）。當 $x > -2a$ 時，$t > 1$，$f(t) < 0$，故 $F'(x) < 0$（遞減）。符合最大值條件。 **答案:** $a = 1/2$

Question 4

Find the largest possible area of a triangle with vertices $(0,2)$, $(1,0)$ and the third vertex on the ellipse
$$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1.$$

Accepted Answer

**分析思路：**
使用參數式表示橢圓上的點，並利用行列式求三角形面積。

**解題步驟：**
1. **參數化橢圓上的點 $P$：**
   $x = \cos 	heta, y = 2\sin 	heta, 	heta \in [0, 2\pi]$
2. **三角形面積公式：**
   頂點為 $(0,2), (1,0), (\cos 	heta, 2\sin 	heta)$
   $$A = \frac{1}{2} | 0(0 - 2\sin 	heta) + 1(2\sin 	heta - 2) + \cos 	heta(2 - 0) |$$
   $$A = \frac{1}{2} | 2\sin 	heta - 2 + 2\cos 	heta | = | \sin 	heta + \cos 	heta - 1 |$$
3. **尋找極值：**
   利用輔助角公式：$\sin 	heta + \cos 	heta = \sqrt{2} \sin(	heta + \pi/4)$
   面積 $A = | \sqrt{2} \sin(	heta + \pi/4) - 1 |$
4. **最大值計算：**
   當 $\sin(	heta + \pi/4) = -1$ 時，內部值最小（絕對值最大）：
   $A_{max} = | \sqrt{2}(-1) - 1 | = \sqrt{2} + 1$

**答案:** $\sqrt{2} + 1$

Question 5

Evaluate
$$\int_{\ln \frac{1}{4}}^{\ln \frac{1}{2}} \frac{e^x}{\sqrt{1 - 4e^{2x}}} \, dx.$$

Accepted Answer

**分析思路：**
觀察被積函數，適合使用變數代換法，將其轉換為 $\arcsin$ 的形式。

**解題步驟：**
1. **變數變換：**
   令 $u = 2e^x$，則 $du = 2e^x dx \implies e^x dx = \frac{1}{2} du$。
2. **轉換邊界：**
   下限：$x = \ln(1/4) \implies u = 2(1/4) = 1/2$
   上限：$x = \ln(1/2) \implies u = 2(1/2) = 1$
3. **建立積分：**
   $$\int_{1/2}^1 \frac{1/2}{\sqrt{1 - u^2}} du = \frac{1}{2} [ \arcsin u ]_{1/2}^1$$
4. **計算數值：**
   $$= \frac{1}{2} ( \arcsin(1) - \arcsin(1/2) ) = \frac{1}{2} ( \pi/2 - \pi/6 ) = \frac{1}{2} ( \pi/3 ) = \frac{\pi}{6}$$

**答案:** $\pi/6$

Question 6

Evaluate
$$\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_y^{\sqrt{1-y^2}} e^{x^2+y^2} \, dx dy.$$

Accepted Answer

**分析思路：**
由於被積函數包含 $x^2 + y^2$ 且積分邊界涉及圓弧 $x = \sqrt{1-y^2}$，使用**極座標 (Polar Coordinates)** 轉換能最有效地求解。

**解題步驟：**
1. **分析積分區域 $D$：**
   - 外層積分範圍：$0 \le y \le \frac{\sqrt{2}}{2}$
   - 內層積分範圍：$y \le x \le \sqrt{1-y^2}$
   - 邊界 $x = \sqrt{1-y^2}$ 即 $x^2 + y^2 = 1$（半徑為 1 的圓）。
   - 邊界 $x = y$ 即 $	heta = \pi/4$ 的射線。
   - 區域 $D$ 是從 $x$ 軸（$	heta = 0$）掃描到 $x=y$（$	heta = \pi/4$），且半徑從 $0$ 到 $1$ 的扇形。
   - 故極座標範圍為：$0 \le r \le 1$ 且 $0 \le 	heta \le \pi/4$。
2. **座標轉換與建立積分：**
   - $x^2 + y^2 = r^2$，$dx dy = r dr d	heta$
   - 積分式變為：$$\int_0^{\pi/4} \int_0^1 e^{r^2} r \, dr d	heta$$
3. **分步計算積分：**
   - **內層積分 (對 $r$)**：
     令 $u = r^2, du = 2r dr$
     $$\int_0^1 e^{r^2} r \, dr = \left[ \frac{1}{2} e^{r^2} ight]_0^1 = \frac{1}{2}(e^1 - e^0) = \frac{e-1}{2}$$
   - **外層積分 (對 $	heta$)**：
     $$\int_0^{\pi/4} \frac{e-1}{2} \, d	heta = \frac{e-1}{2} \cdot [ 	heta ]_0^{\pi/4} = \frac{e-1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi(e-1)}{8}$$

**答案:** $\frac{\pi(e-1)}{8}$

Question 7

Derive the complete Taylor series expansion for
$$\ln \left( \frac{1 + 2x}{1 - 2x} \right)$$
about $x = 0$. (In the form $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k x^{2k-1}$ with a general formula for $a_k$.)

Accepted Answer

**分析思路：**
利用 $\ln(1+u)$ 的標準馬克勞林級數公式，並將兩者相減。

**解題步驟：**
1. **標準級數：**
   $\ln(1+u) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}$
2. **分別展開：**
   $\ln(1+2x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(2x)^n}{n} = (2x) - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} - \cdots$
   $\ln(1-2x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(-2x)^n}{n} = -(2x) - \frac{(2x)^2}{2} - \frac{(2x)^3}{3} - \cdots$
3. **相減：**
   $\ln(1+2x) - \ln(1-2x) = 2 [ (2x) + \frac{(2x)^3}{3} + \frac{(2x)^5}{5} + \cdots ]$
   $$= \sum_{k=0}^\infty 2 \frac{(2x)^{2k+1}}{2k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{2^{2k+2}}{2k+1} x^{2k+1}$$

**答案:** $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{2k+2}}{2k+1} x^{2k+1}$

Question 8

Given function $T(x,y) = 1+x^2-y^2$, find the curve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ so that $\gamma(0) = (1,4)$ and $\gamma'(t) = -
abla T(\gamma(t))$.

Accepted Answer

**分析思路：**
這是一個微分方程問題（梯度下降路徑）。

**解題步驟：**
1. **計算梯度：**
   $
abla T = \langle 2x, -2y angle$
   故方程式為：$\langle x'(t), y'(t) angle = \langle -2x(t), 2y(t) angle$
2. **建立微分方程：**
   - $x'(t) = -2x \implies x(t) = C_1 e^{-2t}$
   - $y'(t) = 2y \implies y(t) = C_2 e^{2t}$
3. **利用初值條件：**
   $\gamma(0) = (1, 4)$
   - $1 = C_1 e^0 \implies C_1 = 1$
   - $4 = C_2 e^0 \implies C_2 = 4$
4. **得出路徑：**
   $\gamma(t) = (e^{-2t}, 4e^{2t})$

**答案:** $\gamma(t) = (e^{-2t}, 4e^{2t})$

Question 9

Find $(a,b)$ with $-\frac{1}{2} \leq b \leq \frac{1}{2}$ so that
• The point $P = (1,a,b)$ is on the surface $E$ defined by
$$\frac{x}{2} - \frac{y}{4} + \frac{\sin(2z)}{4} = 0$$
• The tangent plane to $E$ at $P$ contains lines
$$l_1(t) = P + t \left( \frac{1}{2}, 1, 0 ight) \quad 	ext{and} \quad l_2(t) = P + t(0, 2, 1)$$

Accepted Answer

**分析思路：**
1. 點 $P$ 在曲面上。
2. 切平面的法向量 $
abla F$ 必須垂直於平面內的所有直線方向向量。

**解題步驟：**
1. **條件一：點 $P$ 在曲面上**
   $1/2 - a/4 + \sin(2b)/4 = 0 \implies 2 - a + \sin(2b) = 0 \implies a = 2 + \sin(2b)$
2. **條件二：法向量垂直於直線**
   求梯度：$
abla F = \langle 1/2, -1/4, 2\cos(2z)/4 angle = \langle 1/2, -1/4, (1/2)\cos(2b) angle$
   - 垂直 $l_1$: $\langle 1/2, -1/4, (1/2)\cos(2b) angle \cdot \langle 1/2, 1, 0 angle = 1/4 - 1/4 = 0$ (符合)
   - 垂直 $l_2$: $\langle 1/2, -1/4, (1/2)\cos(2b) angle \cdot \langle 0, 2, 1 angle = -1/2 + (1/2)\cos(2b) = 0$
3. **求解 $a, b$：**
   由 $-1/2 + (1/2)\cos(2b) = 0$ 得 $\cos(2b) = 1$。
   在範圍 $-1/2 \leq b \leq 1/2$ 內，$2b = 0 \implies b = 0$。
   代入第一步：$a = 2 + \sin(0) = 2$。

**答案:** $(a, b) = (2, 0)$

Question 10

Evaluate $\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r}$, where
$$\vec{F} = (4x + 5y, e^{\cos y} + 7x)$$
and $L$ is the path from $A$ to $B$, to $C$ to $A$ and to $D$ as shown below:

Accepted Answer

**分析思路：**
路徑可拆分為一封閉迴圈 $A 	o B 	o C 	o A$ 與一段直線 $A 	o D$。封閉部分使用格林定理。

**解題步驟：**
1. **封閉迴圈 $A 	o B 	o C 	o A$：**
   這是逆時針方向。格林定理：$\oint P dx + Q dy = \iint (Q_x - P_y) dA$
   $P = 4x+5y, Q = e^{\cos y}+7x$
   $Q_x = 7, P_y = 5 \implies Q_x - P_y = 2$
   區域為第一象限的單位圓：面積 $= \pi/4$
   積分值 $= 2 \cdot (\pi/4) = \pi/2$
2. **直線路徑 $A 	o D$：**
   $A(0, 0) 	o D(-1, 0)$。此路徑上 $y = 0, dy = 0$。
   $$\int_A^D \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^{-1} (4x + 5(0)) dx = [ 2x^2 ]_0^{-1} = 2(1) - 0 = 2$$
3. **總積分：**
   $\pi/2 + 2$

**答案:** $\pi/2 + 2$, 其中 $A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-1,0)$

臺灣綜合大學系統 108 年度微積分A

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