臺灣綜合大學系統 106 年微積分A 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

Given a curve $C$ in $\mathbb{R}^2$ defined by $$\ln(1 - x^3 + y^3) - 4 = 0.$$ Find the point on $C$ at which the tangent line is vertical.

Accepted Answer

**分析思路：**
垂直切線（Vertical Tangent Line）意味著斜率趨近於無限大，即 $\frac{dx}{dy} = 0$。

**解題步驟：**
1. **化簡方程式：**
   $\ln(1 - x^3 + y^3) = 4 \implies 1 - x^3 + y^3 = e^4$
2. **隱函數微分（對 $y$ 微分）：**
   對 $1 - x^3 + y^3 = e^4$ 兩邊對 $y$ 求導：
   $$-3x^2 \frac{dx}{dy} + 3y^2 = 0$$
3. **代入垂直切線條件：**
   令 $\frac{dx}{dy} = 0$，得 $3y^2 = 0 \implies y = 0$。
4. **求解 $x$ 座標：**
   將 $y = 0$ 代回原式：$1 - x^3 + 0 = e^4 \implies x^3 = 1 - e^4$
   得出 $x = \sqrt[3]{1 - e^4}$。

**答案:** $(\sqrt[3]{1 - e^4}, 0)$

Question 2

If the function $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(4x)+a-2b}{3x} & x 
eq 0 \ 2a + b & x = 0 \end{cases}$$ is continuous at $x = 0$, then $(a, b) = ?$

Accepted Answer

**分析思路：**
連續條件為 $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$。由於分母趨於 0，分子必須也趨於 0 才能使極限存在。

**解題步驟：**
1. **分子必須為 0：**
   $\lim_{x 	o 0} (\sin(4x) + a - 2b) = 0 \implies 0 + a - 2b = 0 \implies a = 2b$
2. **計算極限值：**
   代入 $a-2b=0$ 後，極限為 $\lim_{x 	o 0} \frac{\sin(4x)}{3x} = \frac{4}{3} \lim_{x 	o 0} \frac{\sin(4x)}{4x} = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$
3. **建立聯立方程：**
   依連續性，$f(0) = 2a + b = 4/3$。
4. **代入求解：**
   將 $a = 2b$ 代入得 $2(2b) + b = 4/3 \implies 5b = 4/3 \implies b = 4/15$。
   則 $a = 2(4/15) = 8/15$。

**答案:** $(a, b) = (8/15, 4/15)$

Question 3

Write down the first three terms (three lowest order terms) of the Taylor series of $\frac{	an^{-1}(2x)}{1-x}$ at $0$.

Accepted Answer

**分析思路：**
利用已知函數的馬克勞林級數（Maclaurin Series）乘積來求解。

**解題步驟：**
1. **$	an^{-1}(2x)$ 的展開：**
   $	an^{-1}(u) = u - \frac{u^3}{3} + \cdots$
   代入 $u=2x$，得 $2x - \frac{8x^3}{3} + \cdots$
2. **$\frac{1}{1-x}$ 的展開：**
   $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$
3. **級數相乘：**
   $(2x - \frac{8}{3}x^3 + \cdots)(1 + x + x^2 + \cdots)$
   - $x$ 項：$2x \cdot 1 = 2x$
   - $x^2$ 項：$2x \cdot x = 2x^2$
   - $x^3$ 項：$2x \cdot x^2 + (-\frac{8}{3}x^3) \cdot 1 = (2 - 8/3)x^3 = -\frac{2}{3}x^3$

**答案:** $2x + 2x^2 - \frac{2}{3}x^3$

Question 4

Evaluate the following integral: $$\int_0^1 \int_{\sqrt{x}}^1 x \cos(y^5 + 2) \, dy \, dx.$$

Accepted Answer

**分析思路：**
內層積分無法直接積出，需交換積分順序（Change order of integration）。

**解題步驟：**
1. **描述區域 $D$：**
   原本為 $0 \leq x \leq 1$, $\sqrt{x} \leq y \leq 1$。這是一個由 $x = y^2$、 $y = 1$ 與 $y$ 軸構成的區域。
2. **交換順序：**
   改為先對 $x$ 積分：$0 \leq y \leq 1$, $0 \leq x \leq y^2$。
   $$\int_0^1 \int_0^{y^2} x \cos(y^5 + 2) dx dy$$
3. **內層積分：**
   $\int_0^{y^2} x \cos(y^5 + 2) dx = \cos(y^5+2) [x^2/2]_0^{y^2} = \frac{y^4}{2} \cos(y^5 + 2)$
4. **外層積分：**
   使用 $u = y^5+2, du = 5y^4 dy \implies y^4 dy = du/5$。
   $$\frac{1}{2} \int_2^3 \cos(u) \frac{1}{5} du = \frac{1}{10} [\sin u]_2^3 = \frac{\sin 3 - \sin 2}{10}$$

**答案:** $\frac{\sin 3 - \sin 2}{10}$

Question 5

From the equation $$e^{x^2} + y^2 \sin(2x) = 4y,$$ Solve $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$

Accepted Answer

**分析思路：**
使用隱函數微分法（Implicit Differentiation）。

**解題步驟：**
1. **兩邊求導：**
   $\frac{d}{dx}(e^{x^2}) + \frac{d}{dx}(y^2 \sin 2x) = \frac{d}{dx}(4y)$
2. **展開各項：**
   $2x e^{x^2} + (2y y' \sin 2x + y^2 \cdot 2\cos 2x) = 4y'$
3. **收集 $y'$：**
   $2x e^{x^2} + 2y^2 \cos 2x = y' (4 - 2y \sin 2x)$
4. **分離 $y'$：**
   $y' = \frac{2x e^{x^2} + 2y^2 \cos 2x}{4 - 2y \sin 2x} = \frac{x e^{x^2} + y^2 \cos 2x}{2 - y \sin 2x}$

**答案:** $\frac{dy}{dx} = \frac{x e^{x^2} + y^2 \cos 2x}{2 - y \sin 2x}$

Question 6

Find all values of $a$ so that the series $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin \left( \frac{1}{n^{3a-1} + 3} \right)$$ is divergent.

Accepted Answer

**分析思路：**
利用極限比較判別法（LCT）與 p-級數判別法。

**解題步驟：**
1. **判斷趨近行為：**
   當角度趨於 0 時，$\sin u \approx u$。因此級數行為取決於 $\sum \frac{1}{n^{3a-1}}$。
2. **發散條件：**
   根據 p-級數測試 $\sum \frac{1}{n^p}$，當 $p \leq 1$ 時發散。
3. **建立不等式：**
   $3a - 1 \leq 1 \implies 3a \leq 2 \implies a \leq 2/3$。
4. **特殊情況驗證：**
   若 $3a-1 \leq 0$，一般項極限不為 0，亦發散。故整個區間皆符合。

**答案:** $a \leq 2/3$

Question 7

Compute the following improper integral $$\int_0^{\infty} e^{-4x^2} dx.$$

Accepted Answer

**分析思路：**
利用高斯積分公式 $\int_0^\infty e^{-u^2} du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。

**解題步驟：**
1. **變數變換：**
   令 $u = 2x, du = 2 dx \implies dx = du/2$。
2. **轉換積分：**
   $$\int_0^\infty e^{-4x^2} dx = \int_0^\infty e^{-u^2} \frac{1}{2} du$$
3. **代入公式：**
   $$= \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \right) = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$$

**答案:** $\frac{\sqrt{\pi}}{4}$

Question 8

Compute the line integral $$\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r},$$ where $$\vec{F}(x,y) = (4y + 6ye^{2x}, 6x + 3e^{2x})$$ and $C$ is the closed loop formed by traveling from $(-2, 0)$ to $(4, 0)$ to $(3, 3)$ to $(-1, 3)$ and back to $(-2, 0)$ by straight lines.

Accepted Answer

**分析思路：**
封閉曲線路徑，適合使用格林定理（Green's Theorem）。

**解題步驟：**
1. **格林定理公式：**
   $\oint_C P dx + Q dy = \iint_D (Q_x - P_y) dA$
2. **計算偏導：**
   $P = 4y + 6ye^{2x} \implies P_y = 4 + 6e^{2x}$
   $Q = 6x + 3e^{2x} \implies Q_x = 6 + 6e^{2x}$
3. **求差值：**
   $Q_x - P_y = (6 + 6e^{2x}) - (4 + 6e^{2x}) = 2$
4. **計算面積：**
   區域 $D$ 為一個梯形。下底長 $4 - (-2) = 6$，上底長 $3 - (-1) = 4$，高為 3。
   面積 $= \frac{4+6}{2} \cdot 3 = 15$。
5. **最終積分：**
   $\iint_D 2 dA = 2 	imes 15 = 30$。

**答案:** 30

Question 9

Given the function $F : \mathbb{R}^3 	o \mathbb{R}$ by $$F(x, y, z) = e^{x+y^2+\cos z}.$$ At $(0, 0, 0)$, find the direction along which the function decreases most rapidly and find the corresponding rate of change.

Accepted Answer

**分析思路：**
函數下降最快的方向為梯度向量的相反方向 $-
abla F$，變化率為 $-\|
abla F\|$。

**解題步驟：**
1. **求梯度向量：**
   $F_x = e^{x+y^2+\cos z}$
   $F_y = 2y e^{x+y^2+\cos z}$
   $F_z = -\sin z e^{x+y^2+\cos z}$
2. **代入點 $(0, 0, 0)$：**
   $F(0, 0, 0) = e^{0+0+1} = e$
   $
abla F(0, 0, 0) = \langle e, 0, 0 angle$
3. **求下降最快方向：**
   $-
abla F = \langle -e, 0, 0 angle$。單位方向向量為 $\langle -1, 0, 0 angle$。
4. **求變化率：**
   $-\|
abla F\| = -e$。

**答案:** 方向為 $\langle -1, 0, 0 angle$，變化率為 $-e$

Question 10

A rectangular box is formed by cutting four equal corners from a square of side 3 and then folding up (see the figure below). Find the maximum possible volume of the box.

Accepted Answer

**分析思路：**
這是一題典型的體積最大化極值問題。

**解題步驟：**
1. **建立模型：**
   設正方形邊長為 3，從四角剪掉邊長為 $x$ 的小正方形。摺起後箱子的底邊長為 $3 - 2x$，高為 $x$。
2. **體積函數：**
   $V(x) = (3 - 2x)^2 x = x(9 - 12x + 4x^2) = 4x^3 - 12x^2 + 9x$
   定義域：$0 < x < 1.5$
3. **求導找臨界點：**
   $V'(x) = 12x^2 - 24x + 9 = 0$
   同除以 3：$4x^2 - 8x + 3 = 0$
   因式分解：$(2x - 1)(2x - 3) = 0 \implies x = 0.5$ 或 $x = 1.5$（定義域外）。
4. **計算最大體積：**
   當 $x = 0.5$ 時，$V(0.5) = (3 - 1)^2 (0.5) = 2^2 \cdot 0.5 = 2$。

**答案:** 最大體積為 2

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