臺灣綜合大學系統 107 年微積分A 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

Evaluate:

(a) $\lim\limits_{n 	o \infty} \frac{n}{n + 1}$

(b) $\lim\limits_{x 	o 0} e^{-\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x^6} - \frac{3}{x^3}ight)$

Accepted Answer

**(a) 分析思路：**
這是一個簡單的無窮大比無窮大型極限，可透過上下同除以最高次方項來求解。

**解題步驟：**
1. 上下同除以 $n$：
   $$\lim_{n 	o \infty} \frac{n/n}{(n+1)/n} = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$$
2. 當 $n 	o \infty$ 時，$\frac{1}{n} 	o 0$：
   $$= \frac{1}{1 + 0} = 1$$

**答案:** 1

---

**(b) 分析思路：**
需要分別檢查左極限 ($x 	o 0^-$) 與右極限 ($x 	o 0^+$)。

**解題步驟：**
1. **右極限 ($x 	o 0^+$)：**
   令 $t = 1/x$，當 $x 	o 0^+$ 時，$t 	o \infty$。
   $$\lim_{t 	o \infty} e^{-t} (t^6 - 3t^3) = \lim_{t 	o \infty} \frac{t^6 - 3t^3}{e^t}$$
   根據羅必達法則或指數函數成長速度遠大於多項式的性質，$e^t$ 的增長遠快於 $t^6$，故極限為 $0$。
2. **左極限 ($x 	o 0^-$)：**
   令 $t = 1/x$，當 $x 	o 0^-$ 時，$t 	o -\infty$。令 $u = -t = -1/x$，則 $u 	o \infty$。
   $$\lim_{u 	o \infty} e^u (u^6 + 3u^3) = \infty \cdot \infty = \infty$$

**結論：** 由於左、右極限不相等且左極限發散，原雙側極限**不存在** (Does not exist)。

Question 2

Find the point on the curve $y = x^{3/2}$ that is closest to the point $(\frac{5}{2}, 0)$.

Accepted Answer

**分析思路：**
尋找曲線上最短距離點，等同於尋找「距離平方」函數的極小值。

**解題步驟：**
1. **建立距離平方函數：**
   設曲線上的一點座標為 $(x, x^{3/2})$，其中 $x \geq 0$。
   該點到 $(5/2, 0)$ 的距離平方 $D(x)$ 為：
   $$D(x) = (x - 5/2)^2 + (x^{3/2} - 0)^2 = x^2 - 5x + 25/4 + x^3$$
   $$D(x) = x^3 + x^2 - 5x + 25/4$$
2. **求一階導數找臨界點：**
   $$D'(x) = 3x^2 + 2x - 5 = 0$$
   使用因式分解：$(3x + 5)(x - 1) = 0$
   得到 $x = -5/3$ (不合，因 $x \geq 0$) 或 $x = 1$。
3. **二階導數檢定：**
   $$D''(x) = 6x + 2 \implies D''(1) = 8 > 0$$
   確值為極小值點。
4. **求 $y$ 座標：**
   當 $x = 1$ 時，$y = 1^{3/2} = 1$。

**答案:** 距離最近的點為 **$(1, 1)$**。

Question 3

Find the length of the parametric curve
$$x = 3t^2, \quad y = 2t^3, \quad 0 \leq t \leq 1.$$

Accepted Answer

**分析思路：**
利用參數曲線弧長公式 $L = \int_a^b \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt$。

**解題步驟：**
1. **計算導數：**
   $dx/dt = 6t$, $dy/dt = 6t^2$
2. **帶入公式：**
   $$L = \int_0^1 \sqrt{(6t)^2 + (6t^2)^2} dt = \int_0^1 \sqrt{36t^2 + 36t^4} dt$$
   $$L = \int_0^1 6t \sqrt{1 + t^2} dt$$
3. **變數變換 (u-substitution)：**
   令 $u = 1 + t^2$，則 $du = 2t dt \implies 3 du = 6t dt$。
   當 $t=0, u=1$；當 $t=1, u=2$。
   $$L = \int_1^2 3 \sqrt{u} du = 3 \int_1^2 u^{1/2} du$$
4. **計算定積分：**
   $$L = 3 \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_1^2 = 2 [u^{3/2}]_1^2 = 2(2\sqrt{2} - 1) = 4\sqrt{2} - 2$$

**答案:** **$4\sqrt{2} - 2$**

Question 4

Determine whether the improper integral
$$\int_1^{\infty} \frac{1 - \cos x}{x^2} dx$$
is convergent or divergent.

Accepted Answer

**分析思路：**
這是一個瑕積分，適合使用「比較判別法」(Comparison Test)。

**解題步驟：**
1. **建立不等式：**
   我們知道對所有實數 $x$，$-1 \leq \cos x \leq 1$。
   因此，$0 \leq 1 - \cos x \leq 2$。
2. **函數比較：**
   在區間 $[1, \infty)$ 上，$x^2 > 0$，所以：
   $$0 \leq \frac{1 - \cos x}{x^2} \leq \frac{2}{x^2}$$
3. **判斷基準函數：**
   觀察 $\int_1^\infty \frac{2}{x^2} dx$。根據 p-級數測試 (p-test)，此積分在 $p=2 > 1$ 時收斂。
   $$\int_1^\infty \frac{2}{x^2} dx = 2 \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^\infty = 2(0 + 1) = 2$$
4. **答案:**
   因為 $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ 始終小於或等於收斂的函數 $\frac{2}{x^2}$，根據比較判別法，原瑕積分收斂。

**答案:** **收斂 (Convergent)**

Question 5

Find the radius of convergence of the power series $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$ and evaluate $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$.

Accepted Answer

**分析思路：**
1. 使用比值判別法 (Ratio Test) 求收斂半徑。
2. 透過等比級數的逐項求導來求出級數的和函數。

**解題步驟：**
1. **求收斂半徑 $R$：**
   $$L = \lim_{n 	o \infty} \left| \frac{(n+1)^2 x^{n+1}}{n^2 x^n} ight| = |x| \lim_{n 	o \infty} \left(\frac{n+1}{n}ight)^2 = |x|$$
   設定 $|x| < 1$，得收斂半徑 **$R = 1$**。
2. **建立和函數：**
   已知 $\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$ ($|x| < 1$)
   微分一次：$\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$
   同乘 $x$：$\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$
   再微分一次：$\sum_{n=1}^\infty n^2 x^{n-1} = \frac{1 \cdot (1-x)^2 - x \cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$
   同乘 $x$：$\sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$
3. **代入數值：**
   求 $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}$，即代入 $x = 1/2$：
   $$	ext{Sum} = \frac{1/2(1 + 1/2)}{(1 - 1/2)^3} = \frac{3/4}{1/8} = 6$$

**答案:** 收斂半徑 **$R=1$**，級數和為 **$6$**

Question 6

Find the equation of the tangent plane and the normal line to the surface
$$S : x^2 y + e^{xyz} - 2\cos(xz) = 0$$
at $(1, 1, 0)$.

Accepted Answer

**分析思路：**
曲面隱函數的梯度向量 $
abla F$ 即為該點的法向量。

**解題步驟：**
1. **定義函數並求偏導：**
   $F(x, y, z) = x^2 y + e^{xyz} - 2\cos(xz)$
   $F_x = 2xy + yz e^{xyz} + 2z\sin(xz)$
   $F_y = x^2 + xz e^{xyz}$
   $F_z = xy e^{xyz} + 2x\sin(xz)$
2. **代入點 $(1, 1, 0)$：**
   $F_x(1, 1, 0) = 2(1)(1) + 0 + 0 = 2$
   $F_y(1, 1, 0) = 1^2 + 0 = 1$
   $F_z(1, 1, 0) = (1)(1)e^0 + 2(1)\sin(0) = 1$
   法向量 $\mathbf{n} = \langle 2, 1, 1 angle$
3. **切平面方程式：**
   $2(x-1) + 1(y-1) + 1(z-0) = 0$
   $2x + y + z = 3$
4. **法線方程式：**
   使用對稱式：$$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$$

**答案:** 切平面為 **$2x + y + z = 3$**，法線為 **$\frac{x - 1}{2} = y - 1 = z$**

Question 7

Let $f : \mathbb{R}^2 	o \mathbb{R}$ be a function. Assume that all second partial derivatives of $f$ exist and continuous and
$$f_{xx} + f_{yy} = 0, \quad 	ext{for all } (x, y) \in \mathbb{R}^2.$$
Define $g : \mathbb{R}^2 	o \mathbb{R}$ by $g(u, v) = f(u^2 - v^2, 2uv)$. Find $g_{uu} + g_{vv}$.

Accepted Answer

**分析思路：**
這題考察多變數連鎖律。我們需要將 $g$ 對 $u$ 和 $v$ 分別求二階導，並利用 $f_{xx} + f_{yy} = 0$ 的性質。

**解題步驟：**
1. **一階偏導：**
   令 $x = u^2 - v^2$, $y = 2uv$。
   $g_u = f_x (2u) + f_y (2v)$
   $g_v = f_x (-2v) + f_y (2u)$
2. **二階偏導 $g_{uu}$：**
   $g_{uu} = \frac{\partial}{\partial u}(2u f_x + 2v f_y) = 2f_x + 2u(f_{xx} 2u + f_{xy} 2v) + 2v(f_{yx} 2u + f_{yy} 2v)$
   $g_{uu} = 2f_x + 4u^2 f_{xx} + 8uv f_{xy} + 4v^2 f_{yy}$
3. **二階偏導 $g_{vv}$：**
   $g_{vv} = \frac{\partial}{\partial v}(-2v f_x + 2u f_y) = -2f_x - 2v(f_{xx} (-2v) + f_{xy} 2u) + 2u(f_{yx} (-2v) + f_{yy} 2u)$
   $g_{vv} = -2f_x + 4v^2 f_{xx} - 8uv f_{xy} + 4u^2 f_{yy}$
4. **相加：**
   $g_{uu} + g_{vv} = (4u^2 + 4v^2) f_{xx} + (4v^2 + 4u^2) f_{yy}$
   $g_{uu} + g_{vv} = 4(u^2 + v^2) (f_{xx} + f_{yy})$
5. **代入已知條件：**
   已知 $f_{xx} + f_{yy} = 0$，故結果為 $0$。

**答案:** **$0$**

Question 8

Evaluate the double integral $\iint_D \sin(x + y) dA$ where $D$ is the region bounded by $x + y = \pi$, $x + y = 0$ and $x - y = \pi$ and $x - y = 0$.

Accepted Answer

**分析思路：**
觀察邊界條件，這是一個旋轉過的矩形區域，非常適合使用變數變換法。

**解題步驟：**
1. **變數代換：**
   令 $u = x + y, v = x - y$。
   積分範圍變為：$0 \leq u \leq \pi$, $0 \leq v \leq \pi$。
2. **計算雅可比行列式 (Jacobian)：**
   解出 $x, y$：$x = (u+v)/2, y = (u-v)/2$。
   $$J = \det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v \ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} = -1/2$$
   取絕對值 $|J| = 1/2$。
3. **轉換積分：**
   $$\iint_D \sin(x + y) dA = \int_0^\pi \int_0^\pi \sin(u) \cdot \frac{1}{2} dv du$$
4. **計算結果：**
   $$= \frac{1}{2} \int_0^\pi \sin(u) [v]_0^\pi du = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \sin(u) du$$
   $$= \frac{\pi}{2} [-\cos u]_0^\pi = \frac{\pi}{2} (-(-1) - 1) = \frac{\pi}{2} (2) = \pi$$

**答案:** **$\pi$**

Question 9

Evaluate the triple integral $\iiint_E \sqrt{x^2 + y^2} dV$, where $E$ is the solid region in $\mathbb{R}^3$ bounded by the surface $z = 1$ and $z = x^2 + y^2$.

Accepted Answer

**分析思路：**
區域 $E$ 的邊界涉及 $x^2 + y^2$，使用柱座標 (Cylindrical Coordinates) 最為簡便。

**解題步驟：**
1. **座標轉換：**
   $x = r\cos	heta, y = r\sin	heta, z = z$
   $dV = r dz dr d	heta, \sqrt{x^2 + y^2} = r$
2. **確定積分範圍：**
   邊界為 $z = r^2$ 與 $z = 1$。
   交線為 $r^2 = 1 \implies r = 1$。
   範圍：$0 \leq 	heta \leq 2\pi, 0 \leq r \leq 1, r^2 \leq z \leq 1$。
3. **建立積分：**
   $$\iiint_E r dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{r^2}^1 r \cdot r dz dr d	heta$$
4. **逐步計算：**
   內層：$\int_{r^2}^1 r^2 dz = r^2(1 - r^2) = r^2 - r^4$
   中層：$\int_0^1 (r^2 - r^4) dr = [r^3/3 - r^5/5]_0^1 = 1/3 - 1/5 = 2/15$
   外層：$\int_0^{2\pi} (2/15) d	heta = 4\pi/15$

**答案:** **$4\pi/15$**

Question 10

Evaluate the line integral $\int_C (ye^x + \sin y)dx + (e^x + x \cos y)dy$ along the curve $C : r(t) = (t^2 + 1)\mathbf{i} + (t^2 - 1)\mathbf{j}$, $0 \leq t \leq 2$. Hint: you may find a potential function $f$ of the vector field $\mathbf{F}(x, y) = (ye^x + \sin y)\mathbf{i} + (e^x + x \cos y)\mathbf{j}$, i.e. find $f$ so that $\mathbf{F} = 
abla f$.

Accepted Answer

**分析思路：**
這是一個保守向量場的線積分，利用位勢函數 (Potential Function) 求解最快。

**解題步驟：**
1. **檢查保守性：**
   $P = ye^x + \sin y, Q = e^x + x\cos y$
   $P_y = e^x + \cos y$, $Q_x = e^x + \cos y$
   $P_y = Q_x$，確認場為保守場。
2. **求位勢函數 $f(x, y)$：**
   $f_x = ye^x + \sin y \implies f = \int (ye^x + \sin y) dx = ye^x + x\sin y + g(y)$
   $f_y = e^x + x\cos y + g'(y) = e^x + x\cos y \implies g'(y) = 0$
   得 $f(x, y) = ye^x + x\sin y$ (常數項略去)。
3. **確定起點與終點：**
   當 $t = 0$: $r(0) = (1, -1)$
   當 $t = 2$: $r(2) = (2^2+1, 2^2-1) = (5, 3)$
4. **應用線積分基本定理：**
   $$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(5, 3) - f(1, -1)$$
   $$= (3e^5 + 5\sin 3) - (-1e^1 + 1\sin(-1))$$
   $$= 3e^5 + e + 5\sin 3 + \sin 1$$

**答案:** **$3e^5 + e + 5\sin 3 + \sin 1$**

臺灣綜合大學系統 107 年度微積分A

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