臺灣綜合大學系統 114 年微積分A 轉學考考古題｜附 AI 解答

Question 1

Given functions $f(x) = \log_a(x^2)$ and $g(x) = \log_x(2^x)$. Find $f'(2)$ and $g'(2)$.

Accepted Answer

給定函數 $f(x) = \log_a(x^2)$ 和 $g(x) = \log_x(2^x)$，求 $f'(2)$ 和 $g'(2)$。

**求 $f'(2)$：**

對 $f(x) = \log_a(x^2)$ 求導。

使用換底公式：$\log_a(u) = \frac{\ln(u)}{\ln(a)}$

所以 $f(x) = \frac{\ln(x^2)}{\ln(a)} = \frac{2\ln(x)}{\ln(a)}$

對 $x$ 求導：
$$f'(x) = \frac{2}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x\ln(a)}$$

因此：
$$f'(2) = \frac{2}{2\ln(a)} = \frac{1}{\ln(a)}$$

**求 $g'(2)$：**

對 $g(x) = \log_x(2^x)$ 求導。

使用換底公式：$\log_x(u) = \frac{\ln(u)}{\ln(x)}$

所以 $g(x) = \frac{\ln(2^x)}{\ln(x)} = \frac{x\ln(2)}{\ln(x)}$

使用商法則求導：
$$g'(x) = \frac{(\ln(x)) \cdot \frac{d}{dx}[x\ln(2)] - (x\ln(2)) \cdot \frac{d}{dx}[\ln(x)]}{[\ln(x)]^2}$$

$$= \frac{(\ln(x)) \cdot \ln(2) - (x\ln(2)) \cdot \frac{1}{x}}{[\ln(x)]^2}$$

$$= \frac{\ln(2)\ln(x) - \ln(2)}{[\ln(x)]^2}$$

$$= \frac{\ln(2)[\ln(x) - 1]}{[\ln(x)]^2}$$

因此：
$$g'(2) = \frac{\ln(2)[\ln(2) - 1]}{[\ln(2)]^2} = \frac{\ln(2) - 1}{\ln(2)} = 1 - \frac{1}{\ln(2)}$$

**最終答案：**
- $f'(2) = \frac{1}{\ln(a)}$
- $g'(2) = 1 - \frac{1}{\ln(2)}$

Question 2

Evaluate the limit. $\lim\limits_{x 	o 0} \frac{\sin(2 \arcsin(3x)) - 6x}{x^3}$

Accepted Answer

我們需要計算極限 $\lim\limits_{x 	o 0} \frac{\sin(2 \arcsin(3x)) - 6x}{x^3}$。

由於當 $x 	o 0$ 時，分子分母都趨於 0，這是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，我們使用泰勒展開來求解。

首先，設 $u = 3x$，當 $x 	o 0$ 時 $u 	o 0$。我們需要找到 $\sin(2 \arcsin(u))$ 的泰勒展開。

**步驟1：求 $\arcsin(u)$ 的泰勒展開**
$$\arcsin(u) = u + \frac{u^3}{6} + \frac{3u^5}{40} + O(u^7)$$

**步驟2：求 $2\arcsin(u)$ 的展開**
$$2\arcsin(u) = 2u + \frac{u^3}{3} + \frac{3u^5}{20} + O(u^7)$$

**步驟3：求 $\sin(2\arcsin(u))$ 的展開**
設 $v = 2\arcsin(u) = 2u + \frac{u^3}{3} + O(u^5)$，則：
$$\sin(v) = v - \frac{v^3}{6} + O(v^5)$$

計算 $v^3$：
$$v^3 = \left(2u + \frac{u^3}{3}ight)^3 = 8u^3 + 4u^2 \cdot \frac{u^3}{3} + O(u^5) = 8u^3 + O(u^5)$$

因此：
$$\sin(2\arcsin(u)) = 2u + \frac{u^3}{3} - \frac{8u^3}{6} + O(u^5) = 2u + \frac{u^3}{3} - \frac{4u^3}{3} + O(u^5) = 2u - u^3 + O(u^5)$$

**步驟4：代回原變數**
將 $u = 3x$ 代入：
$$\sin(2\arcsin(3x)) = 2(3x) - (3x)^3 + O(x^5) = 6x - 27x^3 + O(x^5)$$

**步驟5：計算極限**
$$\frac{\sin(2 \arcsin(3x)) - 6x}{x^3} = \frac{6x - 27x^3 + O(x^5) - 6x}{x^3} = \frac{-27x^3 + O(x^5)}{x^3} = -27 + O(x^2)$$

因此：
$$\lim_{x 	o 0} \frac{\sin(2 \arcsin(3x)) - 6x}{x^3} = -27$$

Question 3

Let function $g(x)$ be the inverse of $f(x) = x\sqrt{1 + 2x^2}$. Find $g'(6)$.

Accepted Answer

要求 $g'(6)$，其中 $g(x)$ 是 $f(x) = x\sqrt{1 + 2x^2}$ 的反函數。

使用反函數微分公式：若 $g$ 是 $f$ 的反函數，則 $g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}$。

**步驟1：找到 $g(6)$**
需要找到 $x$ 使得 $f(x) = 6$，即：
$$x\sqrt{1 + 2x^2} = 6$$

兩邊平方：
$$x^2(1 + 2x^2) = 36$$
$$x^2 + 2x^4 = 36$$
$$2x^4 + x^2 - 36 = 0$$

設 $u = x^2$，得到：
$$2u^2 + u - 36 = 0$$

使用二次公式：
$$u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{-1 \pm 17}{4}$$

因為 $u = x^2 \geq 0$，所以 $u = \frac{16}{4} = 4$，因此 $x^2 = 4$，得 $x = \pm 2$。

檢驗：
- 當 $x = 2$：$f(2) = 2\sqrt{1 + 8} = 2 \cdot 3 = 6$ ✓
- 當 $x = -2$：$f(-2) = -2\sqrt{1 + 8} = -6$ ✗

所以 $g(6) = 2$。

**步驟2：計算 $f'(x)$**
$$f(x) = x\sqrt{1 + 2x^2}$$

使用乘積法則：
$$f'(x) = \sqrt{1 + 2x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}\sqrt{1 + 2x^2}$$

計算 $\frac{d}{dx}\sqrt{1 + 2x^2}$：
$$\frac{d}{dx}\sqrt{1 + 2x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + 2x^2}} \cdot 4x = \frac{2x}{\sqrt{1 + 2x^2}}$$

因此：
$$f'(x) = \sqrt{1 + 2x^2} + x \cdot \frac{2x}{\sqrt{1 + 2x^2}} = \sqrt{1 + 2x^2} + \frac{2x^2}{\sqrt{1 + 2x^2}}$$

$$f'(x) = \frac{1 + 2x^2 + 2x^2}{\sqrt{1 + 2x^2}} = \frac{1 + 4x^2}{\sqrt{1 + 2x^2}}$$

**步驟3：計算 $f'(g(6)) = f'(2)$**
$$f'(2) = \frac{1 + 4(4)}{\sqrt{1 + 2(4)}} = \frac{1 + 16}{\sqrt{9}} = \frac{17}{3}$$

**步驟4：應用反函數微分公式**
$$g'(6) = \frac{1}{f'(g(6))} = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{\frac{17}{3}} = \frac{3}{17}$$

因此，$g'(6) = \frac{3}{17}$。

Question 4

Evaluate the limit. $\lim\limits_{n 	o \infty} \left[\frac{2\arctan(2n)}{\pi}ight]^n$

Accepted Answer

要計算極限 $\lim\limits_{n 	o \infty} \left[\frac{2\arctan(2n)}{\pi}ight]^n$，我們需要分析當 $n 	o \infty$ 時底數的行為。

**步驟1：分析底數的極限行為**

當 $n 	o \infty$ 時，$\arctan(2n) 	o \frac{\pi}{2}$，因此：
$$\frac{2\arctan(2n)}{\pi} 	o \frac{2 \cdot \frac{\pi}{2}}{\pi} = 1$$

這是 $1^\infty$ 型的不定式，需要進一步分析。

**步驟2：使用漸近展開**

對於大的 $x$，我們有 $\arctan(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + O\left(\frac{1}{x^3}ight)$

因此當 $n$ 很大時：
$$\arctan(2n) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}ight)$$

**步驟3：計算底數**

$$\frac{2\arctan(2n)}{\pi} = \frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}ight)ight)$$

$$= 1 - \frac{1}{\pi n} + O\left(\frac{1}{n^3}ight)$$

**步驟4：應用極限公式**

設 $a_n = \frac{2\arctan(2n)}{\pi} = 1 - \frac{1}{\pi n} + O\left(\frac{1}{n^3}ight)$

則：
$$a_n^n = \left(1 - \frac{1}{\pi n} + O\left(\frac{1}{n^3}ight)ight)^n$$

使用 $\lim_{n 	o \infty} \left(1 + \frac{a}{n}ight)^n = e^a$ 的公式，其中 $a = -\frac{1}{\pi}$：

$$\lim_{n 	o \infty} \left(1 - \frac{1}{\pi n}ight)^n = e^{-\frac{1}{\pi}}$$

**步驟5：確認高階項不影響結果**

$O\left(\frac{1}{n^3}ight)$ 項對極限的貢獻為 0，因為：
$$\lim_{n 	o \infty} n \cdot O\left(\frac{1}{n^3}ight) = \lim_{n 	o \infty} O\left(\frac{1}{n^2}ight) = 0$$

**答案**

$$\lim_{n 	o \infty} \left[\frac{2\arctan(2n)}{\pi}ight]^n = e^{-\frac{1}{\pi}}$$

Question 5

Evaluate the definite integral. $\int_0^{\pi/3} (3 + 	an 	heta \sec 	heta)^2 d	heta$

Accepted Answer

我們需要計算定積分 $\int_0^{\pi/3} (3 + 	an 	heta \sec 	heta)^2 d	heta$。

首先展開被積函數：
$(3 + 	an 	heta \sec 	heta)^2 = 9 + 6	an 	heta \sec 	heta + 	an^2 	heta \sec^2 	heta$

因此原積分變為：
$\int_0^{\pi/3} (9 + 6	an 	heta \sec 	heta + 	an^2 	heta \sec^2 	heta) d	heta$

我們分別計算三個積分：

**第一項：** $\int_0^{\pi/3} 9 d	heta = 9	heta \Big|_0^{\pi/3} = 9 \cdot \frac{\pi}{3} = 3\pi$

**第二項：** $\int_0^{\pi/3} 6	an 	heta \sec 	heta d	heta$

由於 $\frac{d}{d	heta}(\sec 	heta) = \sec 	heta 	an 	heta$，所以：
$\int 6	an 	heta \sec 	heta d	heta = 6\sec 	heta + C$

因此：
$\int_0^{\pi/3} 6	an 	heta \sec 	heta d	heta = 6\sec 	heta \Big|_0^{\pi/3} = 6(\sec(\pi/3) - \sec(0)) = 6(2 - 1) = 6$

**第三項：** $\int_0^{\pi/3} 	an^2 	heta \sec^2 	heta d	heta$

使用替換 $u = 	an 	heta$，則 $du = \sec^2 	heta d	heta$

當 $	heta = 0$ 時，$u = 	an(0) = 0$
當 $	heta = \pi/3$ 時，$u = 	an(\pi/3) = \sqrt{3}$

SO：
$\int_0^{\pi/3} 	an^2 	heta \sec^2 	heta d	heta = \int_0^{\sqrt{3}} u^2 du = \frac{u^3}{3} \Big|_0^{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^3}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

**最終答案：**
$\int_0^{\pi/3} (3 + 	an 	heta \sec 	heta)^2 d	heta = 3\pi + 6 + \sqrt{3}$

Question 6

Given function $f(x) = (1 - x)^3 e^{-x^4}$. Find the higher derivative $f^{(2025)}(0)$.

Accepted Answer

要求 $f^{(2025)}(0)$，其中 $f(x) = (1-x)^3 e^{-x^4}$。

首先將函數展開成泰勒級數形式。

**步驟1：展開 $(1-x)^3$**
$(1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3$

**步驟2：展開 $e^{-x^4}$**
$e^{-x^4} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-x^4)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{4k}}{k!} = 1 - \frac{x^4}{1!} + \frac{x^8}{2!} - \frac{x^{12}}{3!} + \cdots$

**步驟3：計算 $f(x) = (1-x)^3 e^{-x^4}$**
$f(x) = (1 - 3x + 3x^2 - x^3)(1 - \frac{x^4}{1!} + \frac{x^8}{2!} - \frac{x^{12}}{3!} + \cdots)$

展開乘積，收集各次項的係數：

- $x^0$ 項：$1 \cdot 1 = 1$
- $x^1$ 項：$(-3) \cdot 1 = -3$
- $x^2$ 項：$3 \cdot 1 = 3$
- $x^3$ 項：$(-1) \cdot 1 = -1$
- $x^4$ 項：$1 \cdot (-1) = -1$
- $x^5$ 項：$(-3) \cdot (-1) = 3$
- $x^6$ 項：$3 \cdot (-1) = -3$
- $x^7$ 項：$(-1) \cdot (-1) = 1$
- $x^8$ 項：$1 \cdot \frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$

**步驟4：分析高次項的規律**
對於 $n \geq 8$ 的項，主要來自 $e^{-x^4}$ 中 $x^{4k}$ 項與 $(1-x)^3$ 中各項的乘積。

當 $n = 4k$ 且 $k \geq 2$ 時，係數為 $\frac{(-1)^k}{k!}$。
當 $n = 4k+1$ 且 $k \geq 2$ 時，係數為 $\frac{(-1)^k \cdot (-3)}{k!} = \frac{3(-1)^{k+1}}{k!}$。
當 $n = 4k+2$ 且 $k \geq 2$ 時，係數為 $\frac{(-1)^k \cdot 3}{k!} = \frac{3(-1)^k}{k!}$。
當 $n = 4k+3$ 且 $k \geq 2$ 時，係數為 $\frac{(-1)^k \cdot (-1)}{k!} = \frac{(-1)^{k+1}}{k!}$。

**步驟5：確定 $2025$ 次項係數**
$2025 = 4 	imes 506 + 1$，所以 $2025 = 4k + 1$，其中 $k = 506$。

根據上述規律，$x^{2025}$ 的係數為：
$\frac{3(-1)^{506+1}}{506!} = \frac{3(-1)^{507}}{506!} = \frac{3 \cdot (-1)}{506!} = -\frac{3}{506!}$

**步驟6：計算 $f^{(2025)}(0)$**
由泰勒級數 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$，可知：
$f^{(2025)}(0) = 2025! 	imes 	ext{(}x^{2025}	ext{的係數)}$

因此：
$f^{(2025)}(0) = 2025! 	imes \left(-\frac{3}{506!}ight) = -\frac{3 	imes 2025!}{506!}$

Question 7

Given polar curve $r = e^{2	heta}$. Find the slope of tangent line of curve at $	heta = \frac{\pi}{4}$. Also find the arc length of curve for $0 \leq 	heta \leq \frac{\pi}{2}$.

Accepted Answer

此題要求極座標曲線 $r = e^{2	heta}$ 在 $	heta = \frac{\pi}{4}$ 處的切線斜率，以及 $0 \leq 	heta \leq \frac{\pi}{2}$ 的弧長。

**第一部分：切線斜率**

極座標曲線的切線斜率公式為：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d	heta}\sin	heta + r\cos	heta}{\frac{dr}{d	heta}\cos	heta - r\sin	heta}$$

首先計算 $\frac{dr}{d	heta}$：
$$r = e^{2	heta} \Rightarrow \frac{dr}{d	heta} = 2e^{2	heta}$$

在 $	heta = \frac{\pi}{4}$ 處：
- $r = e^{2 \cdot \frac{\pi}{4}} = e^{\frac{\pi}{2}}$
- $\frac{dr}{d	heta} = 2e^{\frac{\pi}{2}}$
- $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

代入切線斜率公式：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + e^{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2e^{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - e^{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$= \frac{e^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2} + \frac{e^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}}{2}}{e^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2} - \frac{e^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}}{2}}$$

$$= \frac{\frac{3e^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}}{2}}{\frac{e^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}}{2}} = 3$$

因此切線斜率為 $3$。

**第二部分：弧長**

極座標曲線的弧長公式為：
$$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d	heta}ight)^2} \, d	heta$$

已知 $r = e^{2	heta}$，$\frac{dr}{d	heta} = 2e^{2	heta}$

計算被積函數：
$$\sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d	heta}ight)^2} = \sqrt{(e^{2	heta})^2 + (2e^{2	heta})^2}$$

$$= \sqrt{e^{4	heta} + 4e^{4	heta}} = \sqrt{5e^{4	heta}} = e^{2	heta}\sqrt{5}$$

因此弧長為：
$$L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{2	heta}\sqrt{5} \, d	heta = \sqrt{5} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{2	heta} \, d	heta$$

$$= \sqrt{5} \left[\frac{e^{2	heta}}{2}ight]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}(e^{\pi} - 1)$$

**答案：**
1. 切線斜率：$3$
2. 弧長：$\frac{\sqrt{5}}{2}(e^{\pi} - 1)$

Question 8

Let $C$ be the curve of intersection of surfaces $xy + yz + zx = -14$ and $x^2 + y^2 + z^2 = 29$. The tangent line of curve $C$ at point $(2, 3, -4)$ is given by $\frac{x - 2}{a} = \frac{y - 3}{b} = z + 4$. Find the values of $a, b$.

Accepted Answer

要找到曲線 $C$ 在點 $(2, 3, -4)$ 處的切線方向向量，需要計算兩個曲面在該點的法向量，然後求其外積。

**步驟1：驗證點在兩個曲面上**

對於曲面 $F_1(x,y,z) = xy + yz + zx + 14 = 0$：
$F_1(2,3,-4) = 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot 2 + 14 = 6 - 12 - 8 + 14 = 0$ ✓

對於曲面 $F_2(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 29 = 0$：
$F_2(2,3,-4) = 4 + 9 + 16 - 29 = 0$ ✓

**步驟2：計算兩個曲面的梯度向量**

$
abla F_1 = (y + z, x + z, y + x)$
在點 $(2,3,-4)$：$
abla F_1(2,3,-4) = (3 + (-4), 2 + (-4), 3 + 2) = (-1, -2, 5)$

$
abla F_2 = (2x, 2y, 2z)$
在點 $(2,3,-4)$：$
abla F_2(2,3,-4) = (4, 6, -8)$

**步驟3：計算切線方向向量**

曲線 $C$ 的切線方向向量為兩個法向量的外積：
$\vec{v} = 
abla F_1 	imes 
abla F_2 = (-1, -2, 5) 	imes (4, 6, -8)$

$\vec{v} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
-1 & -2 & 5 \
4 & 6 & -8
\end{vmatrix}$

$= \vec{i}[(-2)(-8) - (5)(6)] - \vec{j}[(-1)(-8) - (5)(4)] + \vec{k}[(-1)(6) - (-2)(4)]$

$= \vec{i}(16 - 30) - \vec{j}(8 - 20) + \vec{k}(-6 + 8)$

$= -14\vec{i} + 12\vec{j} + 2\vec{k} = (-14, 12, 2)$

**步驟4：確定參數值**

切線方程為 $\frac{x-2}{a} = \frac{y-3}{b} = z+4$，這表示方向向量為 $(a, b, 1)$。

由於 $(-14, 12, 2)$ 與 $(a, b, 1)$ 平行，存在常數 $k$ 使得：
$(a, b, 1) = k(-14, 12, 2)$

從第三個分量：$1 = 2k$，所以 $k = \frac{1}{2}$

因此：
$a = k \cdot (-14) = \frac{1}{2} \cdot (-14) = -7$
$b = k \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$

**答案：** $a = -7$，$b = 6$

Question 9

Use the method of Lagrange multiplier to find the shortest and longest distance from the origin to curve $9x^2 + 16xy + 21y^2 = 125$.

Accepted Answer

我們要求原點 $(0, 0)$ 到曲線 $9x^2 + 16xy + 21y^2 = 125$ 的最短與最長距離。

**分析思路：**
原點到點 $(x, y)$ 的距離平方為 $f(x, y) = x^2 + y^2$。我們需要在約束條件 $g(x, y) = 9x^2 + 16xy + 21y^2 - 125 = 0$ 下，找到 $f(x, y)$ 的極值。

**具體步驟：**

**步驟 1：建立拉格朗日方程組**
根據 $
abla f = \lambda 
abla g$：
1. $f_x = 2x, \quad g_x = 18x + 16y$
2. $f_y = 2y, \quad g_y = 16x + 42y$

方程組為：
$$
\begin{cases} 
2x = \lambda(18x + 16y) \implies x = \lambda(9x + 8y) \quad (1) \
2y = \lambda(16x + 42y) \implies y = \lambda(8x + 21y) \quad (2)
\end{cases}
$$

**步驟 2：消去 $\lambda$ 並求解 $x, y$ 的比例**
從 (1) 得 $\lambda = \frac{x}{9x + 8y}$，從 (2) 得 $\lambda = \frac{y}{8x + 21y}$。
$$\frac{x}{9x + 8y} = \frac{y}{8x + 21y}$$
$$x(8x + 21y) = y(9x + 8y)$$
$$8x^2 + 21xy = 9xy + 8y^2$$
$$8x^2 + 12xy - 8y^2 = 0$$
除以 4：
$$2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$$
$$(2x - y)(x + 2y) = 0$$

得到兩個情況：
1. $y = 2x$
2. $x = -2y$

**步驟 3：將比例代入約束條件求座標**
**情況 1：$y = 2x$**
$$9x^2 + 16x(2x) + 21(2x)^2 = 125$$
$$9x^2 + 32x^2 + 84x^2 = 125$$
$$125x^2 = 125 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1, y = \pm 2$$
此時距離平方 $f(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 5$。

**情況 2：$x = -2y$**
$$9(-2y)^2 + 16(-2y)y + 21y^2 = 125$$
$$36y^2 - 32y^2 + 21y^2 = 125$$
$$25y^2 = 125 \implies y^2 = 5, x^2 = 4y^2 = 20$$
此時距離平方 $f(\pm\sqrt{20}, \pm\sqrt{5}) = 20 + 5 = 25$。

**結論：**
- 最短距離為 $\sqrt{5}$。
- 最長距離為 $\sqrt{25} = 5$。

Question 10

Let $D$ be the region in $xy$-plane bounded by $x^2 = y$, $x^2 = 3y$, $y^2 = x$, $y^2 = 3x$. Use the transformation $u = \frac{x^2}{y}$, $v = \frac{y^2}{x}$ to evaluate the double integral $\iint_D \frac{y^2}{x^4 + 3y^2} dA$

Accepted Answer

我們需要計算二重積分 $\iint_D \frac{y^2}{x^4 + 3y^2} dA$，其中區域 $D$ 由 $x^2/y = 1, 3$ 與 $y^2/x = 1, 3$ 圍成。

**分析思路：**
給定變數變換 $u = x^2/y, v = y^2/x$，積分區域 $D$ 在 $uv$ 平面變為矩形 $R: [1, 3] 	imes [1, 3]$。我們需要計算雅可比行列式（Jacobian）並轉換被積函數。

**具體步驟：**

**步驟 1：計算雅可比行列式**
計算 $\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}$：
$$u_x = 2x/y, \quad u_y = -x^2/y^2$$
$$v_x = -y^2/x^2, \quad v_y = 2y/x$$
$$\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \det\begin{pmatrix} 2x/y & -x^2/y^2 \ -y^2/x^2 & 2y/x \end{pmatrix} = (2x/y)(2y/x) - (-x^2/y^2)(-y^2/x^2) = 4 - 1 = 3$$
因此，$dA = dx dy = |J| du dv = \frac{1}{|\partial(u,v)/\partial(x,y)|} du dv = \frac{1}{3} du dv$。

**步驟 2：轉換被積函數**
觀察 $u = x^2/y$ 與 $v = y^2/x$：
$uv = (x^2/y)(y^2/x) = xy$
$u^2 v = (x^4/y^2)(y^2/x) = x^3 \implies x = (u^2 v)^{1/3}$
$u v^2 = (x^2/y)(y^4/x^2) = y^3 \implies y = (u v^2)^{1/3}$

被積函數：$\frac{y^2}{x^4 + 3y^2} = \frac{y^2}{x^4 + 3y^2}$。這裡我們注意到 $x^4 = (x^2)^2 = (uy)^2 = u^2 y^2$。
$$\frac{y^2}{x^4 + 3y^2} = \frac{y^2}{u^2 y^2 + 3y^2} = \frac{y^2}{y^2(u^2 + 3)} = \frac{1}{u^2 + 3}$$

**步驟 3：建立並計算積分**
$$\iint_D \frac{y^2}{x^4 + 3y^2} dA = \int_1^3 \int_1^3 \frac{1}{u^2 + 3} \cdot \frac{1}{3} dv du$$
由於被積函數與 $v$ 無關：
$$= \frac{1}{3} \int_1^3 \frac{1}{u^2 + 3} \left( \int_1^3 dv ight) du$$
$$= \frac{1}{3} \cdot 2 \int_1^3 \frac{1}{u^2 + 3} du = \frac{2}{3} \int_1^3 \frac{1}{u^2 + (\sqrt{3})^2} du$$
使用積分公式 $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan(x/a)$：
$$= \frac{2}{3} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{3}}ight) ight]_1^3$$
$$= \frac{2}{3\sqrt{3}} \left( \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{3}}ight) - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}ight) ight)$$
$$= \frac{2\sqrt{3}}{9} \left( \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(1/\sqrt{3}) ight)$$
$$= \frac{2\sqrt{3}}{9} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} ight) = \frac{2\sqrt{3}}{9} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}\pi}{27}$$

**結論：**
積分值為 $\frac{\sqrt{3}\pi}{27}$。

臺灣綜合大學系統 114 年度微積分A

這份試題整理

微積分A 其他年度考古題

臺灣綜合大學系統 114 年度 微積分A

這份試題整理

微積分A 其他年度考古題

臺灣綜合大學系統 114 年度微積分A